山西大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、（15 分）$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数 } \\ 0 & x=0,1 \text { 及无理数 }\end{array}(0 \leq x \leq 1)\right.$ ，讨论 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数定义
函数 $R(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上定义为：当 $x$ 为有理数且写成最简分数 $\frac{p}{q}$（$q>0$，$p,q$ 互质）时，$R(x)=\frac{1}{q}$；当 $x=0,1$ 或 $x$ 为无理数时，$R(x)=0$。
公式：R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, q>0, p,q\text{互质}\\0, & x=0,1\text{及无理数}\end{cases}
提示：注意 $p,q$ 互质且 $q>0$，这是最简分数的条件。
步骤 2/7
目标：回忆黎曼可积的充要条件
闭区间上的有界函数黎曼可积的充要条件是：函数在该区间上有界，且不连续点集是零测集（勒贝格测度为0）。
公式：\text{黎曼可积} \iff \text{有界} \land \text{不连续点集为零测集}
提示：有界性容易验证，重点在于分析不连续点。
步骤 3/7
目标：分析函数的有界性
对于任意 $x\in[0,1]$，$R(x)\in[0,1]$，因此函数在 $[0,1]$ 上有界。
公式：0\le R(x)\le 1
提示：有界性显然，无需复杂推导。
步骤 4/7
目标：分析连续性：无理数点连续
设 $x_0$ 为无理数，则 $R(x_0)=0$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使得 $\frac{1}{N}<\varepsilon$。在 $x_0$ 的足够小邻域内，所有有理数的分母都大于 $N$（因为分母小的有理数只有有限个），从而这些有理点处的函数值 $\frac{1}{q}<\varepsilon$，而无理点处函数值为0，因此 $|R(x)-R(x_0)|<\varepsilon$，故 $R(x)$ 在无理点连续。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta),|R(x)-R(x_0)|<\varepsilon
提示：关键：分母小于某个固定整数的有理数只有有限个，因此可以避开它们。
步骤 5/7
目标：分析连续性：有理数点不连续
设 $x_0=\frac{p}{q}$ 为有理数（最简形式），则 $R(x_0)=\frac{1}{q}>0$。在任意小的邻域内，存在无理数 $x'$，使得 $R(x')=0$，从而 $|R(x')-R(x_0)|=\frac{1}{q}$ 不随邻域缩小而变小，因此 $R(x)$ 在有理点不连续。
公式：\lim_{x\to x_0}R(x)\neq R(x_0)
提示：无理数在实数中稠密，因此任何有理点的任意邻域内都有无理数。
步骤 6/7
目标：确定不连续点集及其测度
所有有理点都是不连续点，而 $[0,1]$ 中的有理数集是可数集。可数集的勒贝格测度为0，因此不连续点集是零测集。
公式：\text{有理数集可数} \Rightarrow m(\mathbb{Q}\cap[0,1])=0
提示：可数集的测度为0是实变函数中的基本结论。
步骤 7/7
目标：应用黎曼可积判别法得出结论
函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界，且不连续点集为零测集，满足黎曼可积的充要条件，因此 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积。
公式：\text{有界} + \text{不连续点零测} \Rightarrow \text{黎曼可积}
提示：这是黎曼可积的勒贝格判别法，是本题的核心。
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