山西大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ 的极值，是极大值或极小值？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数，找驻点
对函数 $f(x, y)=x^{3}+2x^{2}-2xy+y^{2}$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 4x - 2y$$
$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -2x + 2y$$
令 $f_x=0$ 且 $f_y=0$，得到方程组：
$$\begin{cases} 3x^2 + 4x - 2y = 0 \\ -2x + 2y = 0 \end{cases}$$
由第二个方程得 $y=x$，代入第一个方程：
$$3x^2 + 4x - 2x = 3x^2 + 2x = x(3x+2)=0$$
解得 $x=0$ 或 $x=-\frac{2}{3}$，对应 $y$ 相同，故驻点为 $(0,0)$ 和 $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$。
公式：$f_x=3x^2+4x-2y$, $f_y=-2x+2y$
提示：解方程组时注意将 $y=x$ 代入第一个方程，不要遗漏因式分解的根。
步骤 2/5
目标：求二阶偏导数，构造Hessian矩阵
计算二阶偏导数：
$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 4$$
$$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$$
$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2$$
Hessian矩阵的行列式为：
$$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x+4)\cdot 2 - (-2)^2 = 12x + 8 - 4 = 12x + 4$$
公式：$D = 12x + 4$
提示：注意 $f_{xy}$ 是混合偏导，计算时不要与 $f_{yx}$ 混淆，二者相等。
步骤 3/5
目标：判断驻点 $(0,0)$ 的类型
将 $(0,0)$ 代入 $D$ 和 $f_{xx}$：
$$D = 12\cdot 0 + 4 = 4 > 0$$
$$f_{xx} = 6\cdot 0 + 4 = 4 > 0$$
由于 $D>0$ 且 $f_{xx}>0$，根据极值判别法，$(0,0)$ 是极小值点。
计算极小值：
$$f(0,0) = 0^3 + 2\cdot 0^2 - 2\cdot 0\cdot 0 + 0^2 = 0$$
公式：$D>0$, $f_{xx}>0$ 时取极小值
提示：当 $D>0$ 时，$f_{xx}$ 的正负决定极值类型，不要忘记检查 $f_{xx}$。
步骤 4/5
目标：判断驻点 $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ 的类型
将 $x=-\frac{2}{3}$ 代入 $D$：
$$D = 12\left(-\frac{2}{3}\right) + 4 = -8 + 4 = -4 < 0$$
由于 $D<0$，该点为鞍点，不是极值点。
公式：$D<0$ 时为鞍点
提示：当 $D<0$ 时，无论 $f_{xx}$ 正负，都不是极值点，无需再计算 $f_{xx}$。
步骤 5/5
目标：总结极值结论
函数 $f(x,y)=x^3+2x^2-2xy+y^2$ 只有一个极值点，即 $(0,0)$ 处取得极小值 $0$；另一个驻点 $\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ 为鞍点，不是极值点。
公式：极小值点 $(0,0)$，极小值 $0$
提示：注意区分极值点与驻点，所有极值点都是驻点，但驻点不一定是极值点。
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