山西大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}(a, b>0)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确条件和目标，将积分写成极限形式
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=k$，$a,b>0$。要证明：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = (f(0)-k)\ln\frac{b}{a}.$$
由于 $x=0$ 可能是奇点，考虑极限：
$$I = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \lim_{T\to +\infty} \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx.$$
公式：$$I = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \lim_{T\to +\infty} \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx$$
提示：注意积分限的取法，先处理有限区间再取极限，避免直接处理瑕积分和无穷积分。
步骤 2/6
目标：拆分积分并进行变量替换
将积分拆分为两个部分：
$$\int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)}{x} dx - \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(bx)}{x} dx.$$
对第一个积分令 $u=ax$，则 $x=u/a$，$dx=du/a$，得：
$$\int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)}{x} dx = \int_{a\varepsilon}^{aT} \frac{f(u)}{u} du.$$
对第二个积分令 $v=bx$，得：
$$\int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(bx)}{x} dx = \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(v)}{v} dv.$$
因此：
$$I(\varepsilon,T) = \int_{a\varepsilon}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(t)}{t} dt.$$
公式：$$I(\varepsilon,T) = \int_{a\varepsilon}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(t)}{t} dt$$
提示：变量替换时注意积分限的变化，两个积分统一为同一变量 $t$ 以便合并。
步骤 3/6
目标：合并积分区间
将两个积分合并为：
$$I(\varepsilon,T) = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt + \int_{b\varepsilon}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(t)}{t} dt.$$
后两项合并得：
$$\int_{b\varepsilon}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt - \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(t)}{t} dt = \int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt.$$
所以：
$$I(\varepsilon,T) = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt + \int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt.$$
公式：$$I(\varepsilon,T) = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt + \int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt$$
提示：合并时注意积分上下限的大小关系，这里假设 $a,b>0$，但结果与大小顺序无关，最终由 $\ln(b/a)$ 体现。
步骤 4/6
目标：分别取极限：第一部分（$\varepsilon \to 0^+$）
考虑 $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt$。由积分中值定理，存在 $\xi_\varepsilon$ 介于 $a\varepsilon$ 与 $b\varepsilon$ 之间，使得：
$$\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(\xi_\varepsilon) \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{dt}{t} = f(\xi_\varepsilon) \ln\frac{b}{a}.$$
当 $\varepsilon\to 0^+$ 时，$\xi_\varepsilon\to 0$，由 $f$ 的连续性得：
$$\lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(0)\ln\frac{b}{a}.$$
公式：$$\lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(t)}{t} dt = f(0)\ln\frac{b}{a}$$
提示：注意 $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{dt}{t} = \ln(b/a)$ 与 $\varepsilon$ 无关，这是关键。
步骤 5/6
目标：分别取极限：第二部分（$T \to +\infty$）
考虑 $\int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt$。由积分中值定理，存在 $\eta_T$ 介于 $bT$ 与 $aT$ 之间，使得：
$$\int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt = f(\eta_T) \int_{bT}^{aT} \frac{dt}{t} = f(\eta_T) \ln\frac{a}{b}.$$
当 $T\to +\infty$ 时，$\eta_T\to +\infty$，由已知 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=k$ 得：
$$\lim_{T\to +\infty} \int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt = k \ln\frac{a}{b} = -k \ln\frac{b}{a}.$$
公式：$$\lim_{T\to +\infty} \int_{bT}^{aT} \frac{f(t)}{t} dt = -k \ln\frac{b}{a}$$
提示：注意 $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$，符号不要搞错。
步骤 6/6
目标：合并极限得到最终结果
将两部分极限相加：
$$I = \lim_{\varepsilon\to 0^+, T\to +\infty} I(\varepsilon,T) = f(0)\ln\frac{b}{a} - k\ln\frac{b}{a} = (f(0)-k)\ln\frac{b}{a}.$$
因此原积分收敛且等于该值，证毕。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = (f(0)-k)\ln\frac{b}{a}$$
提示：最终结果与 $a,b$ 的大小无关，因为 $\ln(b/a)$ 已包含符号信息。
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