山西大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S} x y z d x d y, S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0$ 部分并取球外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确第二类曲面积分的投影法
对于第二类曲面积分 \(\iint_S P(x,y,z)\,dx\,dy\)，计算时需将曲面投影到 \(xOy\) 平面，并根据曲面的侧确定正负号。公式为：\(\iint_S P\,dx\,dy = \iint_{D_{xy}} P(x,y,z(x,y)) \cdot (\text{符号})\,dx\,dy\)，其中符号由曲面法向量与 \(z\) 轴正向的夹角决定：上侧为正，下侧为负。本题取球外侧，上半球面外侧法向量指向上方（上侧，符号为正），下半球面外侧法向量指向下方（下侧，符号为负）。
公式：\iint_S P\,dx\,dy = \iint_{D_{xy}} P(x,y,z(x,y)) \cdot (\text{符号})\,dx\,dy
提示：注意区分曲面的侧：上侧对应正号，下侧对应负号，不要混淆。
步骤 2/7
目标：将曲面分成上下两部分并确定投影区域
由于球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 满足 \(x \ge 0, y \ge 0\)，将曲面分为上半球面 \(z = \sqrt{1-x^2-y^2}\) 和下半球面 \(z = -\sqrt{1-x^2-y^2}\)。它们在 \(xOy\) 平面上的投影区域相同：\(D: x \ge 0, y \ge 0, x^2+y^2 \le 1\)，即第一象限的四分之一单位圆盘。
公式：D: x \ge 0, y \ge 0, x^2+y^2 \le 1
提示：投影区域需根据曲面方程和约束条件 \(x \ge 0, y \ge 0\) 确定，注意是四分之一圆。
步骤 3/7
目标：分别计算上下两部分的积分
对于上半球面（取外侧，即上侧），代入 \(z = \sqrt{1-x^2-y^2}\)，得 \(\iint_{S_上} xyz\,dx\,dy = \iint_D xy \cdot \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy\)。对于下半球面（取外侧，即下侧），代入 \(z = -\sqrt{1-x^2-y^2}\)，下侧对应负号，得 \(\iint_{S_下} xyz\,dx\,dy = \iint_D xy \cdot (-\sqrt{1-x^2-y^2}) \cdot (-1)\,dx\,dy = \iint_D xy \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy\)。上下两部分积分结果相同。
公式：\iint_{S_上} xyz\,dx\,dy = \iint_D xy \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy, \quad \iint_{S_下} xyz\,dx\,dy = \iint_D xy \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy
提示：下半球面计算时，注意下侧符号为负，且代入 \(z\) 为负值，两者相乘得正，避免符号错误。
步骤 4/7
目标：求和得到总积分
将上下两部分积分相加，得总积分 \(\iint_S xyz\,dx\,dy = 2 \iint_D xy \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy\)，其中 \(D: x \ge 0, y \ge 0, x^2+y^2 \le 1\)。
公式：\iint_S xyz\,dx\,dy = 2 \iint_D xy \sqrt{1-x^2-y^2} \,dx\,dy
提示：上下两部分贡献相同，直接乘以2简化计算。
步骤 5/7
目标：化为极坐标计算二重积分
令 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)。投影区域 \(D\) 对应 \(0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)。被积函数 \(xy\sqrt{1-x^2-y^2} = r^2\cos\theta\sin\theta \cdot \sqrt{1-r^2}\)，乘以雅可比 \(r\) 得 \(r^3 \cos\theta\sin\theta \sqrt{1-r^2}\)。积分化为：\(2 \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1} r^3 \cos\theta\sin\theta \sqrt{1-r^2} \,dr\,d\theta\)。分离变量得：\(2 \left( \int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta \right) \left( \int_0^1 r^3 \sqrt{1-r^2}\,dr \right)\)。
公式：2 \int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta \cdot \int_0^1 r^3 \sqrt{1-r^2}\,dr
提示：极坐标变换时，注意雅可比 \(r\) 不要遗漏，且角度范围根据 \(x \ge 0, y \ge 0\) 确定为 \(0\) 到 \(\pi/2\)。
步骤 6/7
目标：计算角度积分和径向积分
先计算角度积分：\(\int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos \pi}{2} + \frac{\cos 0}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\)。再计算径向积分：令 \(u = 1-r^2\)，则 \(du = -2r\,dr\)，\(r^2 = 1-u\)，\(r^3\,dr = (1-u) \cdot (-\frac{du}{2})\)，积分限 \(r=0\) 时 \(u=1\)，\(r=1\) 时 \(u=0\)，得 \(\int_0^1 r^3 \sqrt{1-r^2}\,dr = \frac{1}{2} \int_0^1 (1-u) u^{1/2}\,du = \frac{1}{2} \int_0^1 (u^{1/2} - u^{3/2})\,du = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}\)。
公式：\int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}, \quad \int_0^1 r^3 \sqrt{1-r^2}\,dr = \frac{2}{15}
提示：径向积分使用换元法时，注意积分限的变化和符号处理；角度积分可用倍角公式简化。
步骤 7/7
目标：相乘得到最终结果
总积分 \(= 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{15} = \frac{2}{15}\)。
公式：\iint_S xyz\,dx\,dy = \frac{2}{15}
提示：最终结果化简为最简分数，注意检查计算过程。
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