山西师范大学 2024年数学分析第10题

由条件，\(\int_0^{+\infty} f'(x) \, dx\) 收敛，即极限 \(\lim_{b \to +\infty} \int_0^b f'(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} [f(b) - f(0)]\) 存在且有限，因此 \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) 存在，记该极限为 \(L\)。

若 \(L \neq 0\)，则存在 \(X>0\)，当 \(x > X\) 时 \(|f(x)| \ge \frac{|L|}{2} > 0\)，于是 \(\int_X^{+\infty} |f(x)| \, dx\) 发散（因为被积函数恒正且不趋于0），与 \(\int_0^{+\infty} |f(x)| \, dx\) 收敛矛盾。故必有 \(L = 0\)。

令 \(F(x) = \int_x^{+\infty} f(t) \, dt\)，由绝对收敛知 \(F(x)\) 定义良好且 \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\)，且 \(F'(x) = -f(x)\)。则对任意 \(A>0\)，有 \[ \int_0^A f^2(x) \, dx = -\int_0^A f(x) F'(x) \, dx. \] 分部积分：令 \(u = f(x)\)，\(dv = -F'(x) \, dx\)，则 \(du = f'(x) \, dx\)，\(v = -F(x)\)，得 \[ \int_0^A f^2(x) \, dx = \big[-f(x)F(x)\big]_0^A + \int_0^A F(x) f'(x) \, dx. \]

由于 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) 且 \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\)，故 \(\lim_{A \to +\infty} f(A)F(A) = 0\)。而 \(f(0)F(0)\) 为有限常数。因此当 \(A \to +\infty\) 时，边界项趋于有限值 \(f(0)F(0)\)。

考虑积分 \(\int_0^{+\infty} F(x) f'(x) \, dx\)。由条件，\(\int_0^{+\infty} f'(x) \, dx\) 收敛，且 \(F(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上有界（因为 \(F(x) = \int_x^{+\infty} f(t) \, dt\)，由绝对收敛知存在 \(M>0\) 使 \(|F(x)| \le M\)），且 \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0\)。应用Dirichlet判别法：\(F(x)\) 单调趋于0？实际上 \(F(x)\) 不一定单调，但我们可以用分部积分法进一步处理。 另一种方式：由于 \(\int_0^{+\infty} f'(x) \, dx\) 收敛，其原函数 \(f(x)-f(0)\) 有极限，且 \(F(x)\) 连续有界，由Abel判别法（或分部积分）知 \(\int_0^{+\infty} F(x) f'(x) \, dx\) 收敛。具体地，令 \(G(x) = \int_0^x f'(t) \, dt = f(x)-f(0)\)，则 \(G(x)\) 有极限 \(-f(0)\)，且 \(F(x)\) 有界，由Abel判别法知积分收敛。

由分部积分结果， \[ \int_0^A f^2(x) \, dx = -f(A)F(A) + f(0)F(0) + \int_0^A F(x) f'(x) \, dx. \] 当 \(A \to +\infty\) 时，右边三项分别趋于 \(0\)、\(f(0)F(0)\)（有限）和 \(\int_0^{+\infty} F(x) f'(x) \, dx\)（收敛），因此左边极限存在且有限，即 \(\int_0^{+\infty} f^2(x) \, dx\) 收敛。