山西师范大学 2024年数学分析第9题

对于任意给定的 $x_0 \in (0,1)$，我们要证明 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。根据极限定义，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，总有 $|f(x)| < \varepsilon$。由于 $f(x) \ge 0$，只需证明 $f(x) < \varepsilon$。

函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内定义：当 $x$ 为无理数时，$f(x)=0$；当 $x$ 为有理数且写成既约分数 $x = \frac{p}{q}$（$p,q \in \mathbb{N}$）时，$f(x) = \frac{1}{q}$。因此，要使 $f(x) < \varepsilon$，对于有理点只需分母 $q > \frac{1}{\varepsilon}$。

对于给定的 $\varepsilon > 0$，取正整数 $N$ 使得 $N > \frac{1}{\varepsilon}$。则分母 $q \le N$ 的有理数，其函数值 $\ge \frac{1}{N}$，可能不满足 $f(x) < \varepsilon$。但在区间 $(0,1)$ 内，分母不超过 $N$ 的既约分数只有有限个（例如分母为2时有 $1/2$，分母为3时有 $1/3, 2/3$，等等）。这些有限个点中，除去可能等于 $x_0$ 的点，其余每个点与 $x_0$ 都有正距离。设这些点（除去 $x_0$）到 $x_0$ 的最小距离为 $d > 0$。

取 $\delta = d$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$x$ 不可能等于任何一个分母 $\le N$ 的有理数（因为如果 $x$ 是分母 $\le N$ 的有理数且 $x \neq x_0$，则 $|x - x_0| \ge d = \delta$，矛盾）。因此，在这个去心邻域内：若 $x$ 是无理数，$f(x)=0 < \varepsilon$；若 $x$ 是有理数，设 $x = \frac{p}{q}$，则其分母 $q > N$，从而 $f(x) = \frac{1}{q} < \frac{1}{N} < \varepsilon$。于是对所有满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $f(x) < \varepsilon$。

由极限定义，对任意 $x_0 \in (0,1)$ 和任意 $\varepsilon > 0$，我们找到了相应的 $\delta > 0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)| < \varepsilon$，因此 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$。