广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(3^{\frac{1}{n}}-3^{\frac{1}{n+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n+1}$ 都趋于 $0$，因此 $3^{1/n}$ 和 $3^{1/(n+1)}$ 都趋于 $1$，它们的差趋于 $0$，而 $n^2$ 趋于无穷大，故该极限为“$0 \cdot \infty$”型不定式，需要进一步处理。
公式：\lim_{n\to\infty} n^2\left(3^{\frac{1}{n}}-3^{\frac{1}{n+1}}\right)
提示：注意识别不定式类型，不能直接代入求值。
步骤 2/6
目标：利用指数函数展开或微分中值定理
考虑函数 $f(t)=3^t=e^{t\ln 3}$，则 $f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n+1}\right)=f'(\xi)\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$，其中 $\xi$ 介于 $\frac{1}{n+1}$ 与 $\frac{1}{n}$ 之间。$f'(t)=\ln 3 \cdot 3^t$，当 $n$ 很大时 $\xi\approx 0$，故 $f'(\xi)\approx \ln 3$。同时 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$。
公式：f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n+1}\right)=\ln 3\cdot 3^\xi \cdot \frac{1}{n(n+1)}
提示：中值定理中 $\xi$ 依赖于 $n$，但极限时可用夹逼或展开严格化。
步骤 3/6
目标：代入近似并计算初步结果
由近似 $3^{1/n}-3^{1/(n+1)} \approx \ln 3 \cdot \frac{1}{n(n+1)}$，乘以 $n^2$ 得 $n^2 \cdot \frac{\ln 3}{n(n+1)}=\frac{n\ln 3}{n+1}$，当 $n\to\infty$ 时趋于 $\ln 3$。
公式：n^2\left(3^{\frac{1}{n}}-3^{\frac{1}{n+1}}\right)\approx \frac{n\ln 3}{n+1} \to \ln 3
提示：近似方法需要验证高阶项不影响极限。
步骤 4/6
目标：使用泰勒展开严格化
将 $3^{1/n}$ 和 $3^{1/(n+1)}$ 展开至二阶：
$3^{1/n}=1+\frac{\ln 3}{n}+\frac{(\ln 3)^2}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$，
$3^{1/(n+1)}=1+\frac{\ln 3}{n+1}+\frac{(\ln 3)^2}{2(n+1)^2}+O\left(\frac{1}{(n+1)^3}\right)$。
相减得：
$\ln 3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{(\ln 3)^2}{2}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\cdots$。
公式：3^{1/n}=1+\frac{\ln 3}{n}+\frac{(\ln 3)^2}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)
提示：泰勒展开时注意保留足够阶数，确保差的主项正确。
步骤 5/6
目标：计算各阶项乘以 n^2 后的极限
第一项：$n^2 \cdot \ln 3 \cdot \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n\ln 3}{n+1} \to \ln 3$。
第二项：$n^2 \cdot \frac{(\ln 3)^2}{2} \cdot \frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}=\frac{(\ln 3)^2}{2} \cdot \frac{2n+1}{(n+1)^2} \to 0$。
更高阶项均趋于 $0$，故极限为 $\ln 3$。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln 3}{n+1}=\ln 3,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln 3)^2}{2}\cdot\frac{2n+1}{(n+1)^2}=0
提示：注意 $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ 的化简。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，原极限的值为 $\ln 3$。
公式：\boxed{\ln 3}
提示：结果可保留对数形式，无需近似为小数。
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