📝 广东工业大学 2025年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(3^{\frac{1}{n}}-3^{\frac{1}{n+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

3、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

4、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left[(1+x)^{2}-e\right]}{1-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、由 $y=\ln x$ 和两直线 $y=e+1-x, y=0$ 所用成的图形面积

6、函数 $z=z(x, y)$ 由 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z=0$ 所确定，$\displaystyle \frac{d^{2} z}{\partial x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7、已知 $x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则傅立叶级数 $a_{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

8、设 $V$ 是由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 所围成的闭区域，则 $\iint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z=$ $\_\_\_\_$ ．

七、（11 分）计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。

三、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上三次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 均存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0$ ．

九、（16 分）

（1）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收敛。
（2）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散。
（3）利用上述结论判断积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right] d x$ 是否收敛？是否绝对收敛？并证明上述结论．

二、（12 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{a} \ln \left(1+x^{2}\right) & x>0 \\ 0 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，试确定 $a$ 的范围，使 c 分别满足
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导．

五、（15 分）设函数为 $\displaystyle f(x)$ 连续函数．
（1）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ．
（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) d x$ 的值．

八、（12 分）试证：无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但不一致收敛．

六、（12 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}},(p>0)$ 的玫散性．

四、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续，且存在常数 $c$ 使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x]=0$ ，证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．