广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入对称代换，寻找积分关系
令 $x = \pi - t$，则 $dx = -dt$。当 $x=0$ 时 $t=\pi$，当 $x=\pi$ 时 $t=0$。原积分变为：
$$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1+\cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} dt$$
公式：$\sin(\pi - t) = \sin t$, $\cos(\pi - t) = -\cos t$, $\cos^2(\pi - t) = \cos^2 t$
提示：注意积分限变换时符号的处理，确保最终积分限为从0到π。
步骤 2/4
目标：将原积分与变换后的积分相加，消去x因子
原积分 $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$，变换后得 $I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$（将哑变量t换回x）。两式相加：
$$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$
公式：$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
提示：相加后分子中的x项恰好抵消，只剩下常数π，简化了积分。
步骤 3/4
目标：化简并计算剩余积分
由上式得 $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$。令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=\pi$ 时 $u=-1$。于是：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}$$
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u$
提示：换元时注意积分限的对应和符号变化，最终得到对称区间上的积分。
步骤 4/4
目标：计算定积分并得到最终结果
计算 $\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$。因此：
$$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$
提示：注意反正切函数是奇函数，对称区间积分可直接利用奇偶性简化。
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