广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九、（16 分）
（1）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收敛。
（2）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散。
（3）利用上述结论判断积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right] d x$ 是否收敛？是否绝对收敛？并证明上述结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明广义积分 ∫₁^∞ (sin x)/x dx 收敛
应用 Dirichlet 判别法。令 f(x)=sin x，其原函数 -cos x 在任意区间上有界；g(x)=1/x 在 [1,+∞) 上单调递减且趋于 0。因此积分 ∫₁^∞ f(x)g(x) dx 收敛。
公式：\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx \text{ 收敛}
提示：注意 Dirichlet 判别法的条件：f 的原函数有界，g 单调趋于 0。
步骤 2/5
目标：证明广义积分 ∫₁^∞ |sin x|/x dx 发散
利用周期性：在每个区间 [kπ, (k+1)π] 上，有 ∫_{kπ}^{(k+1)π} |sin x|/x dx ≥ 1/[(k+1)π] ∫_{kπ}^{(k+1)π} |sin x| dx = 2/[(k+1)π]。对 k 从 1 到 N 求和得部分和 ≥ (2/π) ∑_{k=1}^N 1/(k+1)，当 N→∞ 时调和级数发散，故原积分发散。
公式：\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx \ge \frac{2}{(k+1)\pi}
提示：注意分母放缩时用 (k+1)π 确保不等式方向正确。
步骤 3/5
目标：分析被积函数在 x→+∞ 时的渐近行为
当 x 很大时，t = sin x / x 很小，利用展开 (1-t)^{-1/3} = 1 + (1/3)t + O(t^2)，因此被积函数 = (1/3)(sin x)/x + O(1/x^2)。
公式：\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-1/3} - 1 = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin x}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：展开时注意余项阶数的估计，确保 O(1/x^2) 绝对可积。
步骤 4/5
目标：分析被积函数在 x→0+ 时的行为
当 x→0 时，sin x/x → 1，故 1 - sin x/x ~ x^2/6，因此被积函数 ~ (x^2/6)^{-1/3} - 1 ~ 6^{1/3} x^{-2/3}。积分 ∫₀¹ x^{-2/3} dx 收敛（指数 -2/3 > -1），故 x=0 处可积。
公式：1 - \frac{\sin x}{x} \sim \frac{x^2}{6}, \quad \left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-1/3} - 1 \sim \frac{6^{1/3}}{x^{2/3}}
提示：注意 x=0 不是瑕点，因为被积函数在 0 附近可积。
步骤 5/5
目标：综合判断原积分的收敛性与绝对收敛性
由第3步，无穷远处被积函数主部为 (1/3)(sin x)/x，由(1)知该部分条件收敛，余项绝对收敛；由第4步，0 附近绝对收敛。因此整体积分条件收敛。但 |(1/3)(sin x)/x| 的积分发散（由(2)），故原积分不绝对收敛。
公式：\int_{0}^{+\infty} \left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-1/3} - 1\right] dx \text{ 条件收敛，不绝对收敛}
提示：注意区分条件收敛与绝对收敛：主部非绝对可积导致整体非绝对收敛。
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