广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6、函数 $z=z(x, y)$ 由 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z=0$ 所确定，$\displaystyle \frac{d^{2} z}{\partial x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：方程两边对x求偏导，得到一阶偏导表达式
原方程：\(x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0\)，两边对\(x\)求偏导（注意\(z\)是\(x,y\)的函数）：
\[2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 4 \frac{\partial z}{\partial x} = 0\]
整理得：
\[2x + (2z - 4) \frac{\partial z}{\partial x} = 0\]
解得：
\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x}{2z - 4} = \frac{-x}{z - 2}\]
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{z - 2}
提示：注意对\(z^2\)求导时要用链式法则，得到\(2z \frac{\partial z}{\partial x}\)。
步骤 2/4
目标：对一阶偏导再次对x求偏导，得到二阶偏导表达式
将一阶偏导写为：\(\frac{\partial z}{\partial x} = -x (z - 2)^{-1}\)，对\(x\)再求偏导，使用乘法法则和链式法则：
\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = - (z - 2)^{-1} + x \cdot (-1)(z - 2)^{-2} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}\]
即：
\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{z - 2} + \frac{x}{(z - 2)^2} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}\]
公式：\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{z - 2} + \frac{x}{(z - 2)^2} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
提示：注意\((z-2)^{-1}\)对\(x\)求导时，\(z\)是\(x\)的函数，要乘以\(\frac{\partial z}{\partial x}\)。
步骤 3/4
目标：代入一阶偏导，化简二阶偏导表达式
将\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{z - 2}\)代入上式：
\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{z - 2} + \frac{x}{(z - 2)^2} \cdot \left(\frac{-x}{z - 2}\right) = -\frac{1}{z - 2} - \frac{x^2}{(z - 2)^3}\]
公式：\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{z - 2} - \frac{x^2}{(z - 2)^3}
提示：代入时注意符号，第二项为负。
步骤 4/4
目标：利用原方程消去x^2，得到最终结果
由原方程\(x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0\)，得\(x^2 = 4z - y^2 - z^2\)，代入：
\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{z - 2} - \frac{4z - y^2 - z^2}{(z - 2)^3}\]
将第一项通分：
\[-\frac{1}{z - 2} = -\frac{(z - 2)^2}{(z - 2)^3}\]
合并分子：
\[\frac{-(z - 2)^2 - (4z - y^2 - z^2)}{(z - 2)^3} = \frac{-(z^2 - 4z + 4) - 4z + y^2 + z^2}{(z - 2)^3} = \frac{-z^2 + 4z - 4 - 4z + y^2 + z^2}{(z - 2)^3} = \frac{y^2 - 4}{(z - 2)^3}\]
公式：\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y^2 - 4}{(z - 2)^3}
提示：化简分子时注意合并同类项，\(-z^2\)与\(+z^2\)抵消，\(4z\)与\(-4z\)抵消。
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