广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left[(1+x)^{2}-e\right]}{1-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断极限类型并准备等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，分母 $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$。分子中，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 是 $1^\infty$ 型未定式，需要先展开处理。
公式：$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)$
提示：注意不要直接代入 $x=0$，因为 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 在 $x=0$ 处无定义，需用极限过程处理。
步骤 2/6
目标：对 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 取对数展开
令 $y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$。利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，得：
$$\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$$
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
提示：展开到 $x^2$ 项即可，因为后续乘以 $x$ 后需要 $x^2$ 项与分母匹配。
步骤 3/6
目标：指数化并展开 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$
由 $\ln y = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$，得：
$$y = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)}$$
利用 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$，其中 $u = -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)$，展开到 $x^2$ 项：
$$e^u = 1 + \left(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2}\right)^2 + o(x^2) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{8} + o(x^2) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + o(x^2)$$
因此：
$$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + o(x^2)\right)$$
公式：$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$
提示：展开时注意 $u$ 中包含 $x^2$ 项，计算 $u^2$ 时只需保留到 $x^2$ 项，即 $\left(-\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}$。
步骤 4/6
目标：计算分子中括号内的表达式
将 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 减去常数 $e$：
$$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = e\left(1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24}x^2 + o(x^2)\right) - e = -\frac{e}{2}x + \frac{11e}{24}x^2 + o(x^2)$$
公式：$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = -\frac{e}{2}x + \frac{11e}{24}x^2 + o(x^2)$
提示：常数项 $e$ 被消去，得到 $x$ 的一次项，这是极限为有限值的关键。
步骤 5/6
目标：计算整个分子并化简
分子为 $x$ 乘以上式：
$$x\left[(1+x)^{\frac{1}{x}} - e\right] = x\left(-\frac{e}{2}x + \frac{11e}{24}x^2 + o(x^2)\right) = -\frac{e}{2}x^2 + \frac{11e}{24}x^3 + o(x^3)$$
公式：$x\left[(1+x)^{\frac{1}{x}} - e\right] = -\frac{e}{2}x^2 + o(x^2)$
提示：高阶项 $x^3$ 在 $x \to 0$ 时相对于 $x^2$ 是无穷小，可归入 $o(x^2)$。
步骤 6/6
目标：代入等价无穷小并求极限
分母 $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{e}{2}x^2 + o(x^2)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{e}{2}}{\frac{1}{2}} = -e$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{e}{2}x^2}{\frac{x^2}{2}} = -e$
提示：注意 $o(x^2)/x^2 \to 0$，不影响极限结果。最终答案为 $-e$。
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