广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上三次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 均存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件出发，明确要证明的目标
已知 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在有限，记为 $A$；$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'''(x)$ 存在有限，记为 $B$。需要证明 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} f''(x) = \lim_{x \to +\infty} f'''(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$, $\lim_{x \to +\infty} f'''(x) = B$
提示：注意题目只给出了三阶导和原函数的极限存在，没有直接给出一阶、二阶导的极限存在性，需要证明它们存在且为0。
步骤 2/6
目标：证明三阶导的极限为0
用反证法。假设 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'''(x) = L \neq 0$，不妨设 $L > 0$。则存在 $X > 0$，当 $x > X$ 时，$f'''(x) > \frac{L}{2} > 0$。对 $f''(x)$ 从 $X$ 到 $x$ 积分得：$f''(x) = f''(X) + \int_X^x f'''(t) \, dt > f''(X) + \frac{L}{2}(x - X)$。当 $x \to +\infty$ 时，$f''(x) \to +\infty$。再积分两次，$f'(x)$ 和 $f(x)$ 均趋于无穷，与 $\lim f(x)$ 存在有限矛盾。$L < 0$ 时同理。故必有 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'''(x) = 0$。
公式：$f''(x) = f''(X) + \int_X^x f'''(t) \, dt$
提示：反证法关键：若三阶导极限非零，则二阶导线性增长，导致原函数发散，与已知矛盾。
步骤 3/6
目标：利用泰勒公式建立一阶、二阶导的关系
由 $\lim f'''(x) = 0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $x > N$ 时 $|f'''(x)| < \varepsilon$。取 $h=1$，对 $f(x+1)$ 在 $x$ 处泰勒展开（带拉格朗日余项）：$f(x+1) = f(x) + f'(x) \cdot 1 + \frac{1}{2} f''(x) \cdot 1^2 + \frac{1}{6} f'''(\xi_1) \cdot 1^3$，其中 $\xi_1 \in (x, x+1)$。移项得：$f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) = f(x+1) - f(x) - \frac{1}{6} f'''(\xi_1)$。当 $x \to +\infty$ 时，$f(x+1)-f(x) \to 0$，$f'''(\xi_1) \to 0$，故 $f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) \to 0$。
公式：$f(x+1) = f(x) + f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) + \frac{1}{6} f'''(\xi_1)$
提示：泰勒展开的阶数选择要合适，这里用到三阶导的余项，因为已知其三阶导极限为0。
步骤 4/6
目标：再次利用泰勒公式得到第二个关系式
取 $h=2$，对 $f(x+2)$ 在 $x$ 处泰勒展开：$f(x+2) = f(x) + 2f'(x) + 2f''(x) + \frac{4}{3} f'''(\xi_2)$，其中 $\xi_2 \in (x, x+2)$。移项得：$2f'(x) + 2f''(x) = f(x+2) - f(x) - \frac{4}{3} f'''(\xi_2)$。当 $x \to +\infty$ 时，右边趋于 $0$，故 $f'(x) + f''(x) \to 0$。
公式：$f(x+2) = f(x) + 2f'(x) + 2f''(x) + \frac{4}{3} f'''(\xi_2)$
提示：注意 $h=2$ 时泰勒展开的系数：$f'(x)$ 的系数是 $h=2$，$f''(x)$ 的系数是 $\frac{h^2}{2}=2$，余项系数为 $\frac{h^3}{6}=\frac{4}{3}$。
步骤 5/6
目标：联立两个关系式，解出一阶、二阶导的极限
由前两步得到两个极限关系式：
(1) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[ f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) \right] = 0$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[ f'(x) + f''(x) \right] = 0$
将(2)减去(1)得：$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{2} f''(x) \right] = 0$，即 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0$。代入(2)得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。
公式：$\begin{cases} f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) \to 0 \\ f'(x) + f''(x) \to 0 \end{cases} \Rightarrow f''(x) \to 0, f'(x) \to 0$
提示：这是解线性方程组的思路，注意两个极限式相减时，要确保极限的线性运算成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上步骤，我们证明了 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'''(x) = 0$，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0$，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$，即三个极限均为0。
公式：$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{x \to +\infty} f''(x) = \lim_{x \to +\infty} f'''(x) = 0}$
提示：注意证明顺序：先证三阶导为0，再通过泰勒公式联立得到一阶、二阶导为0。
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