广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、由 $y=\ln x$ 和两直线 $y=e+1-x, y=0$ 所用成的图形面积
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确曲线与直线方程
题目给出的三条线是：
1. \( y = \ln x \)
2. \( y = e + 1 - x \)
3. \( y = 0 \)（即x轴）
我们需要找到它们围成的封闭图形。
提示：注意区分曲线和直线，以及它们的位置关系。
步骤 2/7
目标：求交点坐标
先求 \( y = \ln x \) 与 \( y = e+1-x \) 的交点：
令 \( \ln x = e + 1 - x \)，整理得 \( \ln x + x = e + 1 \)。
观察可知，当 \( x = e \) 时，左边 \( = \ln e + e = 1 + e \)，等于右边，所以一个交点为 \((e, 1)\)。
再求 \( y = \ln x \) 与 \( y=0 \) 的交点：
\( \ln x = 0 \Rightarrow x = 1 \)，即点 \((1,0)\)。
再求 \( y = e+1-x \) 与 \( y=0 \) 的交点：
令 \( e+1-x = 0 \Rightarrow x = e+1 \)，即点 \((e+1, 0)\)。
公式：\ln x + x = e + 1
提示：解方程时注意观察特殊值，如 \( x = e \) 是常见解。
步骤 3/7
目标：确定区域形状并分段
三个交点分别为：
- A: \((1,0)\)
- B: \((e,1)\)
- C: \((e+1,0)\)
曲线 \( y=\ln x \) 从A上升到B，直线 \( y=e+1-x \) 从B下降到C，底边是x轴从A到C，围成一个封闭区域。
上边界在 \( x=1 \) 到 \( x=e \) 是 \( \ln x \)，在 \( x=e \) 到 \( x=e+1 \) 是直线 \( e+1-x \)，因此需要分段积分。
提示：分段的关键是找到分界点 \( x=e \)，即两条曲线的交点横坐标。
步骤 4/7
目标：列出面积积分表达式
面积 \( S \) 为：
\[ S = \int_{1}^{e} \ln x \, dx + \int_{e}^{e+1} (e+1-x) \, dx \]
公式：S = \int_{1}^{e} \ln x \, dx + \int_{e}^{e+1} (e+1-x) \, dx
提示：注意下边界是 \( y=0 \)，所以被积函数就是上边界函数本身。
步骤 5/7
目标：计算第一个积分
计算 \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx \)：
原函数为 \( \int \ln x \, dx = x\ln x - x + C \)。
代入上下限：
\( \big[ x\ln x - x \big]_{1}^{e} = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1 \)。
公式：\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C
提示：计算 \( \ln 1 = 0 \)，注意符号不要出错。
步骤 6/7
目标：计算第二个积分
计算 \( \int_{e}^{e+1} (e+1-x) \, dx \)：
原函数为 \( (e+1)x - \frac{x^2}{2} \)。
代入上限 \( x=e+1 \)：
\( (e+1)(e+1) - \frac{(e+1)^2}{2} = (e+1)^2 - \frac{(e+1)^2}{2} = \frac{(e+1)^2}{2} \)。
代入下限 \( x=e \)：
\( (e+1)e - \frac{e^2}{2} = e^2 + e - \frac{e^2}{2} = \frac{e^2}{2} + e \)。
相减得：
\( \frac{(e+1)^2}{2} - \left( \frac{e^2}{2} + e \right) = \frac{e^2 + 2e + 1}{2} - \frac{e^2}{2} - e = \frac{2e+1}{2} - e = e + \frac{1}{2} - e = \frac{1}{2} \)。
公式：\int (e+1-x) \, dx = (e+1)x - \frac{x^2}{2}
提示：展开 \( (e+1)^2 \) 时注意各项，最后化简时 \( e \) 项会抵消。
步骤 7/7
目标：求总面积
将两个积分结果相加：
\( S = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)。
公式：S = \frac{3}{2}
提示：最终结果可以写成 \( 1.5 \) 或 \( \frac{3}{2} \)，注意单位是面积单位。
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