广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设函数为 $\displaystyle f(x)$ 连续函数．
（1）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ．
（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) d x$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明等式 ∫₀^{π/2} f(sin x) dx = ∫₀^{π/2} f(cos x) dx
令 t = π/2 - x，则当 x=0 时 t=π/2，当 x=π/2 时 t=0，且 dx = -dt。代入原积分得：∫₀^{π/2} f(sin x) dx = ∫_{π/2}^{0} f(sin(π/2 - t)) (-dt) = ∫₀^{π/2} f(cos t) dt。将 t 换回 x，即得等式。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \, dx
提示：注意变量代换时积分限的变化，以及 sin(π/2 - t) = cos t 的恒等式。
步骤 2/6
目标：设 I = ∫₀^{π/2} ln(sin x) dx，并利用第一问结论
由第一问，取 f(t) = ln t，得 I = ∫₀^{π/2} ln(cos x) dx。因此 2I = ∫₀^{π/2} [ln(sin x) + ln(cos x)] dx = ∫₀^{π/2} ln(sin x cos x) dx。
公式：2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x \cos x) \, dx
提示：利用对数性质 ln a + ln b = ln(ab)。
步骤 3/6
目标：利用三角恒等式化简被积函数
由 sin x cos x = (1/2) sin 2x，得 2I = ∫₀^{π/2} ln((1/2) sin 2x) dx = ∫₀^{π/2} ln(1/2) dx + ∫₀^{π/2} ln(sin 2x) dx。
公式：\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
提示：注意 ln(ab) = ln a + ln b 的拆分。
步骤 4/6
目标：计算第一项积分
∫₀^{π/2} ln(1/2) dx = ln(1/2) * (π/2) = - (π/2) ln 2。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1}{2}\right) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2
提示：ln(1/2) = -ln 2，常数积分直接乘区间长度。
步骤 5/6
目标：处理第二项积分，通过变量代换化为 I
令 u = 2x，则 dx = du/2，积分限从 x=0 到 π/2 变为 u=0 到 π。于是 ∫₀^{π/2} ln(sin 2x) dx = (1/2) ∫₀^{π} ln(sin u) du。利用对称性 ∫₀^{π} ln(sin u) du = 2∫₀^{π/2} ln(sin u) du = 2I，所以第二项等于 (1/2)*2I = I。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) \, du = I
提示：注意 sin u 在 [0,π] 上关于 u=π/2 对称，因此积分等于两倍 [0,π/2] 上的积分。
步骤 6/6
目标：建立方程并求解 I
由前几步得 2I = - (π/2) ln 2 + I，移项得 I = - (π/2) ln 2。
公式：2I = -\frac{\pi}{2} \ln 2 + I \Rightarrow I = -\frac{\pi}{2} \ln 2
提示：注意移项时符号变化，最终结果是一个负数。
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