广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数通项形式
幂级数为 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\)，其中 \(a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}\)。
公式：a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
提示：注意幂次是 \(n^2\)，不是 \(n\)，这对后续求极限很重要。
步骤 2/5
目标：用根值法求收敛半径
根据柯西-阿达玛公式，收敛半径 \(R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\)。计算 \(\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)。由重要极限 \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e\)，得 \(\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = e\)，因此 \(R = \frac{1}{e}\)。
公式：R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{e}
提示：根值法适用于通项含 \(n\) 次幂的情形，这里 \(\sqrt[n]{a_n}\) 恰好化简为 \((1+1/n)^n\)。
步骤 3/5
目标：检查右端点 \(x = \frac{1}{e}\) 的收敛性
代入 \(x = \frac{1}{e}\)，通项为 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} \cdot e^{-n}\)。取对数：\(\ln\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} e^{-n}\right] = n^2 \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - n\)。利用展开 \(\ln(1+\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\)，代入得 \(n^2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})\right) - n = -\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right)\)。因此通项趋于 \(e^{-1/2} \neq 0\)，级数发散。
公式：\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} e^{-n} = e^{-1/2} \neq 0
提示：通项不趋于0是级数发散的充分条件，无需进一步判别。
步骤 4/5
目标：检查左端点 \(x = -\frac{1}{e}\) 的收敛性
代入 \(x = -\frac{1}{e}\)，通项为 \((-1)^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} e^{-n}\)。其绝对值与右端点相同，趋于 \(e^{-1/2} \neq 0\)，故通项不趋于0，级数发散。
公式：\left|(-1)^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} e^{-n}\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} e^{-n} \to e^{-1/2} \neq 0
提示：即使有交错因子 \((-1)^n\)，通项不趋于0仍导致发散。
步骤 5/5
目标：总结收敛域
收敛半径 \(R = \frac{1}{e}\)，且两个端点均发散，因此收敛域为开区间 \(\left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right)\)。
公式：\text{收敛域} = \left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right)
提示：幂级数收敛域通常需要单独讨论端点，不能直接由半径得出。
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