广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（12 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{a} \ln \left(1+x^{2}\right) & x>0 \\ 0 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，试确定 $a$ 的范围，使 c 分别满足
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在；
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续；
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析右极限存在的条件
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x^2) \sim x^2$，因此 $f(x) \sim x^a \cdot x^2 = x^{a+2}$。极限存在且有限要求指数 $a+2 \ge 0$，即 $a \ge -2$。若 $a+2 > 0$，极限为 $0$；若 $a+2 = 0$，极限为 $1$；若 $a+2 < 0$，极限为无穷大，不存在。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{a+2} \quad \text{存在当且仅当} \ a+2 \ge 0
提示：注意等价无穷小替换时，$\ln(1+x^2) \sim x^2$ 仅在 $x \to 0$ 时成立，且极限存在包括有限常数，无穷大不算存在。
步骤 2/5
目标：确定连续的条件
连续要求 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$。左极限为 $0$，右极限由（1）知：当 $a > -2$ 时右极限为 $0$；当 $a = -2$ 时右极限为 $1$，不等于 $0$。因此连续需 $a > -2$。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \iff a > -2
提示：连续必须左右极限相等且等于函数值，注意 $a = -2$ 时右极限为 $1$ 而非 $0$，故不连续。
步骤 3/5
目标：计算右导数
右导数定义为 $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^a \ln(1+x^2)}{x} = \lim_{x \to 0^+} x^{a-1} \ln(1+x^2)$。利用等价无穷小 $\ln(1+x^2) \sim x^2$，得 $f'_+(0) \sim x^{a+1}$。右导数存在且有限要求 $a+1 \ge 0$，即 $a \ge -1$。
公式：f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} x^{a+1} \quad \text{存在当且仅当} \ a+1 \ge 0
提示：右导数存在包括有限常数，$a+1=0$ 时极限为 $1$，但后续需与左导数相等。
步骤 4/5
目标：计算左导数
左导数定义为 $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{0-0}{x} = 0$。因此左导数恒为 $0$。
公式：f'_-(0) = 0
提示：左导数直接由定义计算，注意 $x<0$ 时 $f(x)=0$。
步骤 5/5
目标：综合可导条件
可导要求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且左右导数相等。连续已得 $a > -2$，左右导数相等要求右导数也为 $0$，即 $a+1 > 0$（因为 $a+1=0$ 时右导数为 $1$，不等于 $0$）。故 $a > -1$。
公式：f'_+(0) = f'_-(0) = 0 \iff a > -1
提示：注意 $a=-1$ 时右导数为 $1$，左导数为 $0$，不相等，因此不可导。
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