广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续，且存在常数 $c$ 使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x]=0$ ，证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限条件，在无穷远处控制函数与线性函数的差
由 \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - c x] = 0\)，对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > a\)，使得当 \(x > M\) 时，有 \(|f(x) - c x| < \frac{\varepsilon}{3}\)。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists M>a, \forall x>M: |f(x)-cx|<\frac{\varepsilon}{3}
提示：注意这里的 \(\varepsilon\) 是最终一致连续定义中的任意正数，我们提前将其三等分以便后续放缩。
步骤 2/4
目标：证明函数在区间 \([M, +\infty)\) 上一致连续
对任意 \(x_1, x_2 > M\)，有
\[
|f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-c x_1| + |f(x_2)-c x_2| + |c|\,|x_1-x_2| < \frac{2\varepsilon}{3} + |c|\,|x_1-x_2|.
\]
取 \(\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3(|c|+1)}\)（当 \(c=0\) 时也有效），则当 \(|x_1-x_2|<\delta_1\) 时，\(|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\)。
公式：\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3(|c|+1)}
提示：这里分母加1是为了防止 \(c=0\) 时分母为零，同时保证放缩成立。
步骤 3/4
目标：利用Cantor定理证明函数在闭区间 \([a, M+1]\) 上一致连续
区间 \([a, M+1]\) 是闭区间，且 \(f\) 在其上连续，因此由Cantor定理，\(f\) 在 \([a, M+1]\) 上一致连续。即存在 \(\delta_2 > 0\)，使得对该区间内任意两点 \(x_1, x_2\)，只要 \(|x_1-x_2|<\delta_2\)，就有 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)。
公式：\exists \delta_2>0, \forall x_1,x_2\in[a,M+1], |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意这里取区间右端点为 \(M+1\) 是为了覆盖可能出现的跨区间情况。
步骤 4/4
目标：合并两个区间，证明整体一致连续
取 \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, 1\}\)。任取 \(x_1, x_2 \in [a, +\infty)\) 且 \(|x_1-x_2|<\delta\)，分情况讨论：
- 若两点都在 \([a, M+1]\) 中，由 \(\delta_2\) 保证 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)；
- 若两点都在 \([M, +\infty)\) 中，由 \(\delta_1\) 保证 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)；
- 若一点在 \([a, M]\)，另一点在 \([M, +\infty)\)，由于 \(\delta<1\)，另一点必在 \([M, M+1)\) 内，因此两点实际都在 \([a, M+1]\) 中，同样满足条件。
故对所有情况，\(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)，即 \(f\) 在 \([a, +\infty)\) 上一致连续。
公式：\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, 1\}
提示：取 \(\delta \le 1\) 是为了保证跨区间情形下两点不会超出 \([M, M+1]\) 的范围，从而被闭区间的一致连续性覆盖。
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