广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八、（12 分）试证：无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但不一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数在 (0,1) 上逐点收敛
对于任意固定的 $x \in (0,1)$，考虑通项 $a_n(x) = \frac{n}{1+n^3 x}$。当 $n$ 充分大时，分母中的 $n^3 x$ 占主导，因此有估计：$0 < \frac{n}{1+n^3 x} < \frac{n}{n^3 x} = \frac{1}{n^2 x}$。由于 $x>0$ 固定，$\frac{1}{x}$ 是常数，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知原级数对每个固定的 $x$ 绝对收敛，从而逐点收敛。
公式：$$0 < \frac{n}{1+n^3 x} < \frac{1}{n^2 x}$$
提示：注意 $x>0$ 是固定的，因此放缩时 $\frac{1}{x}$ 视为常数，不影响收敛性。
步骤 2/4
目标：分析通项是否一致趋于零
要证明不一致收敛，常用方法是检查通项是否在区间上一致趋于零。若级数一致收敛，则通项必一致趋于零。考虑点列 $x_n = \frac{1}{n^3} \in (0,1)$，代入通项得：$f_n(x_n) = \frac{n}{1 + n^3 \cdot \frac{1}{n^3}} = \frac{n}{2}$。当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x_n) \to \infty$，因此通项在 $(0,1)$ 上不一致趋于零。
公式：$$f_n\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{n}{2} \to \infty$$
提示：选取 $x_n$ 的关键是使分母中的 $n^3 x$ 成为常数，从而凸显分子 $n$ 的增长。
步骤 3/4
目标：由通项不一致趋于零推出级数不一致收敛
根据函数项级数一致收敛的必要条件：若 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则 $u_n(x) \rightrightarrows 0$ 在 $I$ 上成立。这里我们已找到点列 $x_n$ 使得 $u_n(x_n) \not\to 0$，故原级数在 $(0,1)$ 上不一致收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in(0,1)} |u_n(x)| \neq 0$$
提示：注意一致收敛要求余项对所有的 $x$ 同时小，而逐点收敛只要求对每个固定的 $x$ 小。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $(0,1)$ 上逐点收敛（因为对每个固定的 $x$，通项被 $\frac{1}{n^2 x}$ 控制），但由于通项不一致趋于零，故级数在 $(0,1)$ 上不一致收敛。
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x} \quad \text{在}(0,1)\text{上收敛但不一致收敛}$$
提示：证明不一致收敛时，除了通项法，也可用柯西一致收敛准则的否定形式，但通项法更直接。
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