广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8、设 $V$ 是由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 所围成的闭区域，则 $\iint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解积分区域形状
第一个曲面 $z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是开口向上的圆锥面，顶点在原点，半顶角为 $45^\circ$。第二个曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 是半径为 $a$ 的球面。它们围成的闭区域是锥面内部且球面内部的公共部分，形状类似“冰淇淋锥”。
公式：锥面方程：$z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$；球面方程：$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$
提示：注意锥面顶点与球心均在原点，区域关于z轴旋转对称。
步骤 2/5
目标：选择坐标系并确定积分限
由于区域旋转对称，采用球坐标：$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$。锥面方程化为 $r\cos\theta = r\sin\theta$，即 $\tan\theta = 1$，得 $\theta = \pi/4$。区域在锥面内部，故 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/4$；球面给出 $r$ 从 $0$ 到 $a$；$\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
公式：$\iiint f\,dV = \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{a} f \cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$
提示：球坐标体积元 $dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，不要遗漏 $\sin\theta$。
步骤 3/5
目标：写出被积函数并化简积分
被积函数 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$。代入后三重积分为：$\iiint (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi/4}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^{4}\,dr$。
公式：$\iiint r^{2} \cdot r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi = \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi/4}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^{4}\,dr$
提示：注意 $r^{2}$ 来自被积函数，$r^{2}\sin\theta$ 来自体积元，合并后为 $r^{4}\sin\theta$。
步骤 4/5
目标：分别计算三个积分
先对 $r$ 积分：$\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \frac{a^{5}}{5}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{\pi/4} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\pi/4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。最后对 $\phi$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$。
公式：$\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \frac{a^{5}}{5}$，$\int_{0}^{\pi/4} \sin\theta\,d\theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$
提示：计算 $\int \sin\theta\,d\theta$ 时注意符号：原函数为 $-\cos\theta$。
步骤 5/5
目标：合并结果并化简
将三个积分结果相乘：$2\pi \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{a^{5}}{5} = \frac{2\pi a^{5}}{5}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。进一步化简：$\frac{2\pi a^{5}}{5} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = \frac{\pi a^{5}(2 - \sqrt{2})}{5}$。
公式：$\iiint (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \frac{\pi a^{5}(2 - \sqrt{2})}{5}$
提示：化简时注意 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$，与 $2\pi$ 相乘后分母的2可约去。
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