广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（12 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}},(p>0)$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写级数通项，化为标准形式
将分母 $p^{\ln n}$ 改写为指数形式：$p^{\ln n} = e^{\ln(p^{\ln n})} = e^{\ln n \cdot \ln p} = n^{\ln p}$。因此原级数化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{\ln p}}$。
公式：p^{\ln n} = n^{\ln p}
提示：注意 $\ln n \cdot \ln p = \ln(n^{\ln p})$，底数变换要准确。
步骤 2/5
目标：讨论绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{\ln p}}$。由于 $|\sin n| \le 1$，有 $\frac{|\sin n|}{n^{\ln p}} \le \frac{1}{n^{\ln p}}$。而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\ln p}}$ 是 $p$‑级数（指数为 $\ln p$），当 $\ln p > 1$ 即 $p > e$ 时收敛。因此当 $p > e$ 时原级数绝对收敛。
公式：\frac{|\sin n|}{n^{\ln p}} \le \frac{1}{n^{\ln p}}, \quad \sum \frac{1}{n^{\ln p}} \text{ 收敛当 } \ln p > 1
提示：不要忘记 $p$‑级数的收敛条件：指数大于1才收敛。
步骤 3/5
目标：讨论 $p > 1$ 时的条件收敛性
当 $1 < p \le e$ 时，$\ln p \in (0,1]$，此时 $\frac{1}{n^{\ln p}}$ 单调递减趋于 $0$。又因为 $\sin n$ 的部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N \sin n = \frac{\sin(N/2) \sin((N+1)/2)}{\sin(1/2)}$ 有界（绝对值不超过 $1/|\sin(1/2)|$）。由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum \frac{\sin n}{n^{\ln p}}$ 收敛。但绝对值级数发散（因为 $\ln p \le 1$ 时 $\sum 1/n^{\ln p}$ 发散），故为条件收敛。
公式：\left| \sum_{n=1}^N \sin n \right| \le \frac{1}{|\sin(1/2)|}, \quad a_n = \frac{1}{n^{\ln p}} \searrow 0
提示：Dirichlet 判别法要求 $a_n$ 单调趋于0且部分和有界，缺一不可。
步骤 4/5
目标：讨论 $0 < p \le 1$ 时的发散性
当 $0 < p < 1$ 时，$\ln p < 0$，则 $n^{\ln p} = n^{\text{负数}} \to 0$，通项 $\frac{\sin n}{n^{\ln p}}$ 的绝对值无界，且 $\sin n$ 不恒为0，故通项不趋于0，级数发散。当 $p=1$ 时，$\ln p = 0$，通项为 $\sin n$，不趋于0，级数发散。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n^{\ln p}} \neq 0 \quad (0 < p \le 1)
提示：通项不趋于0是级数发散的必要条件，此处可直接判断。
步骤 5/5
目标：综合结论并给出最终分类
综合以上讨论：
- 当 $p > e$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $1 < p \le e$ 时，级数条件收敛；
- 当 $0 < p \le 1$ 时，级数发散。
注意边界 $p = e$ 时 $\ln p = 1$，级数为 $\sum \frac{\sin n}{n}$，是经典的条件收敛级数。
公式：\text{收敛性分类：} \begin{cases} p > e & \text{绝对收敛} \\ 1 < p \le e & \text{条件收敛} \\ 0 < p \le 1 & \text{发散} \end{cases}
提示：边界 $p=e$ 属于条件收敛，不要遗漏。
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