广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
七、（11 分）计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简曲线方程，确定积分区域
原曲线方程为 $x^2 + y^2 = x + y$。移项得 $x^2 - x + y^2 - y = 0$。分别对 $x$ 和 $y$ 配方：$x^2 - x = (x - \frac12)^2 - \frac14$，$y^2 - y = (y - \frac12)^2 - \frac14$。代入得 $(x - \frac12)^2 + (y - \frac12)^2 = \frac12$。因此区域 $D$ 是以 $(\frac12, \frac12)$ 为圆心、半径 $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆盘。
公式：$(x - \frac12)^2 + (y - \frac12)^2 = \frac12$
提示：配方时注意常数项要正确移项，确保等式平衡。
步骤 2/4
目标：进行坐标平移，简化被积函数和区域
令 $u = x - \frac12$，$v = y - \frac12$，则 $x = u + \frac12$，$y = v + \frac12$。区域变为 $u^2 + v^2 \le \frac12$。被积函数 $x + y = (u + \frac12) + (v + \frac12) = u + v + 1$。雅可比行列式为 $1$，因此积分化为 $\iint_{u^2+v^2 \le 1/2} (u+v+1) \, du \, dv$。
公式：$\iint_D (x+y) \, dxdy = \iint_{u^2+v^2 \le 1/2} (u+v+1) \, du \, dv$
提示：平移变换不改变面积元，雅可比行列式为1。
步骤 3/4
目标：利用对称性消去奇函数项
区域 $u^2+v^2 \le \frac12$ 关于 $u$ 轴和 $v$ 轴对称。$u$ 和 $v$ 均为奇函数，在对称区域上的积分为零，即 $\iint u \, du \, dv = 0$，$\iint v \, du \, dv = 0$。因此积分简化为 $\iint_{u^2+v^2 \le 1/2} 1 \, du \, dv$。
公式：$\iint u \, du \, dv = 0$，$\iint v \, du \, dv = 0$
提示：注意被积函数中的常数项1是偶函数，其积分即为区域面积。
步骤 4/4
目标：计算圆盘面积，得出最终结果
圆盘 $u^2+v^2 \le \frac12$ 的半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，面积为 $\pi \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \times \frac12 = \frac{\pi}{2}$。因此原积分值为 $\frac{\pi}{2}$。
公式：$\iint_{u^2+v^2 \le 1/2} 1 \, du \, dv = \frac{\pi}{2}$
提示：圆的面积公式为 $\pi R^2$，注意半径平方为 $1/2$。
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