广东工业大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7、已知 $x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则傅立叶级数 $a_{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确傅里叶余弦级数的系数公式
对于定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的偶函数 $f(x) = x^2$，其傅里叶余弦级数展开式为 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$，其中系数公式为 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$，$n = 0,1,2,\dots$。题目中给出的级数形式 $x^2 = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$ 省略了常数项，但 $a_n$ 的计算仍遵循此公式。
公式：a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx
提示：注意题目没有 $a_0/2$ 项，但 $a_n$ 的计算公式不变，$n \ge 1$ 时直接用此公式。
步骤 2/7
目标：写出 $a_2$ 的积分表达式
令 $n=2$，代入公式得 $a_2 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos(2x) \, dx$。
公式：a_2 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos(2x) \, dx
提示：直接代入 $n=2$，不要混淆 $n$ 的取值。
步骤 3/7
目标：使用分部积分法计算不定积分
计算 $\int x^2 \cos(2x) \, dx$。令 $u = x^2$，$dv = \cos(2x) \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = \frac{1}{2} \sin(2x)$。由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
$\int x^2 \cos(2x) \, dx = \frac{x^2}{2} \sin(2x) - \int x \sin(2x) \, dx$。
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时注意符号，$v$ 的系数 $\frac{1}{2}$ 不要遗漏。
步骤 4/7
目标：计算剩余积分 $\int x \sin(2x) \, dx$
对 $\int x \sin(2x) \, dx$ 再次分部积分。令 $u = x$，$dv = \sin(2x) \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$。于是：
$\int x \sin(2x) \, dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x)$。
公式：\int x \sin(2x) \, dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x)
提示：第二次分部积分时，$v$ 的符号为负，代入后注意负负得正。
步骤 5/7
目标：合并结果得到原不定积分
将第二步结果代入第一步：
$\int x^2 \cos(2x) \, dx = \frac{x^2}{2} \sin(2x) - \left( -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \right)$
$= \frac{x^2}{2} \sin(2x) + \frac{x}{2} \cos(2x) - \frac{1}{4} \sin(2x)$。
公式：\int x^2 \cos(2x) \, dx = \frac{x^2}{2} \sin(2x) + \frac{x}{2} \cos(2x) - \frac{1}{4} \sin(2x)
提示：注意括号前的负号，逐项展开并合并同类项。
步骤 6/7
目标：代入上下限计算定积分
计算 $\int_0^\pi x^2 \cos(2x) \, dx$：
当 $x = \pi$ 时，$\sin(2\pi)=0$，$\cos(2\pi)=1$，代入得 $0 + \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{2}$；
当 $x = 0$ 时，$\sin 0=0$，$\cos 0=1$，代入得 $0 + 0 - 0 = 0$；
所以定积分值为 $\frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。
公式：\int_0^\pi x^2 \cos(2x) \, dx = \frac{\pi}{2}
提示：代入 $x=\pi$ 时 $\sin(2\pi)=0$，$\cos(2\pi)=1$，不要误算为 $-1$。
步骤 7/7
目标：求出 $a_2$ 的值
将定积分结果代入 $a_2$ 表达式：
$a_2 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1$。
公式：a_2 = \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 1
提示：约分时 $\pi$ 直接消去，结果简洁为 $1$。
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