广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{3}{x} \ln \left(1+2^{x}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限形式与因子趋势
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{3}{x} \to 0$，因此 $\sin\frac{3}{x} \sim \frac{3}{x}$；同时 $2^x \to +\infty$，故 $\ln(1+2^x) \sim \ln(2^x) = x\ln 2$。原极限可初步估计为 $\frac{3}{x} \cdot x\ln 2 = 3\ln 2$。
公式：$\sin\frac{3}{x} \sim \frac{3}{x}\ (x\to+\infty)$，$\ln(1+2^x) \sim x\ln 2\ (x\to+\infty)$
提示：注意等价无穷小替换需在乘积形式下使用，且要验证替换的合理性。
步骤 2/5
目标：利用极限运算法则严格化第一步替换
将原极限写为：
$$
\lim_{x\to+\infty} \sin\frac{3}{x} \ln(1+2^x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin\frac{3}{x}}{\frac{3}{x}} \cdot \frac{3}{x} \cdot \ln(1+2^x)
$$
由于 $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1$，且 $t=\frac{3}{x}\to 0$，故第一个因子极限为1。因此原极限等于 $\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{x} \ln(1+2^x)$。
公式：$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$
提示：不要直接替换，应通过恒等变形化为已知极限形式。
步骤 3/5
目标：处理对数项，分离主部
将 $\ln(1+2^x)$ 变形：
$$
\ln(1+2^x) = \ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right] = x\ln 2 + \ln(1+2^{-x})
$$
代入得：
$$
\frac{3}{x} \ln(1+2^x) = \frac{3}{x}\left(x\ln 2 + \ln(1+2^{-x})\right) = 3\ln 2 + \frac{3\ln(1+2^{-x})}{x}
$$
公式：$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，$\ln(2^x)=x\ln 2$
提示：注意 $2^{-x}\to 0$，$\ln(1+2^{-x})$ 是无穷小量。
步骤 4/5
目标：计算剩余项的极限
当 $x\to+\infty$ 时，$2^{-x}\to 0$，故 $\ln(1+2^{-x}) \sim 2^{-x} \to 0$。于是第二项 $\frac{3\ln(1+2^{-x})}{x}$ 的分子趋于0，分母趋于无穷，因此极限为0。
$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{3\ln(1+2^{-x})}{x} = 0
$$
公式：$\lim_{x\to+\infty}\frac{3\ln(1+2^{-x})}{x}=0$
提示：也可用夹逼准则：$0 \leq \left|\frac{3\ln(1+2^{-x})}{x}\right| \leq \frac{3\cdot 2^{-x}}{x} \to 0$。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
由前两步得：
$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{x} \ln(1+2^x) = 3\ln 2 + 0 = 3\ln 2
$$
因此原极限为 $3\ln 2$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \sin\frac{3}{x} \ln(1+2^x) = 3\ln 2$
提示：最终结果是一个常数，与 $x$ 无关。
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