📝 广西大学 2023年数学分析真题

1．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{3}{x} \ln \left(1+2^{x}\right)$

2．若 $e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ ，求 $\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

3．求定积分 $\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ ，其中 $a>0$ ．

4．求由拋物线 $y=x^{2}$ 与 $x+2 y-3=0$ 所围平面图形的面积．

5．求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 在第一象限的一条切线，使其被坐标面所截得的线段最短．

6．求第一型曲线积分 $\int_{\Gamma} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d s$ ，其中 $\Gamma$ 是曲线 $x^{2}+y^{2}=x$ ．

7．求三重积分 $\displaystyle \iiint_{V} \frac{d x d y d z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $V$ 是由平面 $x+y+z=1$ 及三个坐标平面围成的立体图形．

8．将 $f(x)=\arcsin (\sin x)$ 展成傅里叶级数．

9．求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}} \frac{d S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}}$ ，其中 $h \neq R$

1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right)
$$

．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．

3．求证 $y=x^{a}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续，其中 $0<a<1$ ．

4．证明 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 条件收敛。

5．利用闭区间套定理证明：有界数列必有收敛子列．

6．证明 Green 定理：设闭区域 $D$ 由分段光滑的简单闭曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y)$及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导数．则有

$$
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y
$$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线．