广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right)
$$
．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设最大值为M，并建立上界估计
记 \( M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_k\} \)。由于每个 \( a_i \leq M \)，因此 \( a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n \leq k M^n \)。两边开 \( n \) 次方得 \( \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} \leq \sqrt[n]{k} \cdot M \)。
公式：\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} \leq \sqrt[n]{k} \cdot M
提示：注意 \( \sqrt[n]{k} \to 1 \) 当 \( n \to \infty \)，这是后续夹逼的关键。
步骤 2/5
目标：建立下界估计
设 \( a_j = M \) 是最大值，则 \( a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n \geq M^n \)。两边开 \( n \) 次方得 \( \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} \geq M \)。
公式：\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} \geq M
提示：下界直接由最大值项保证，无需额外处理。
步骤 3/5
目标：应用夹逼定理求极限
由前两步得到 \( M \leq \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_k^n} \leq M \cdot \sqrt[n]{k} \)。当 \( n \to \infty \) 时，\( \sqrt[n]{k} \to 1 \)，因此左右两端极限均为 \( M \)。由夹逼定理，原极限等于 \( M \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = M
提示：夹逼定理要求不等式两端极限相等，这里 \( \sqrt[n]{k} \to 1 \) 是关键。
步骤 4/5
目标：第二题：根据一致连续定义，对f和g分别取δ
对任意 \( \varepsilon > 0 \)，因为 \( f \) 一致连续，存在 \( \delta_1 > 0 \)，使得当 \( x, y \in I \) 且 \( |x - y| < \delta_1 \) 时，有 \( |f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2} \)。同理，存在 \( \delta_2 > 0 \)，使得当 \( |x - y| < \delta_2 \) 时，有 \( |g(x) - g(y)| < \frac{\varepsilon}{2} \)。
公式：|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad |g(x) - g(y)| < \frac{\varepsilon}{2}
提示：注意取 \( \varepsilon/2 \) 是为了后续相加得到 \( \varepsilon \)。
步骤 5/5
目标：取公共δ并验证f+g的一致连续性
取 \( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \)，则当 \( |x - y| < \delta \) 时，同时有 \( |f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2} \) 和 \( |g(x)-g(y)| < \frac{\varepsilon}{2} \)。于是 \( |(f+g)(x) - (f+g)(y)| \leq |f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \)。由定义，\( f+g \) 在 \( I \) 上一致连续。
公式：|(f+g)(x) - (f+g)(y)| \leq |f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| < \varepsilon
提示：三角不等式是连接两个函数的关键，δ取最小值保证两个不等式同时成立。
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