广西大学 2023年数学分析第0题

由于 $\arcsin$ 的值域为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，我们分段写出 $f(x)=\arcsin(\sin x)$ 在一个周期 $[-\pi, \pi]$ 上的形式： - 当 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 时，$\arcsin(\sin x)=x$。 - 当 $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ 时，$\sin x = \sin(\pi - x)$，且 $\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，故 $\arcsin(\sin x)=\pi - x$。 - 当 $x \in [-\pi, -\frac{\pi}{2})$ 时，$\sin x = \sin(-\pi - x)$，且 $-\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$，故 $\arcsin(\sin x)=-\pi - x$。 因此， $$f(x)=\begin{cases} -\pi - x, & -\pi \le x < -\frac{\pi}{2} \\ x, & -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \\ \pi - x, & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases}$$

观察 $f(-x) = -f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数。奇函数的傅里叶级数只含正弦项： $$f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$$ 其中 $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$ 由于 $f(x)\sin(nx)$ 为偶函数，可化简为 $$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

在 $[0,\pi]$ 上，$f(x)$ 分段为： $$f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \\ \pi - x, & \frac{\pi}{2} < x \le \pi \end{cases}$$ 因此 $$b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx \right]$$ 先计算第一个积分： $$\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}$$ 代入上下限得 $$\int_0^{\pi/2} x \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$

令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$dx = -dt$，且 $\sin(nx) = \sin(n(\pi - t)) = (-1)^{n+1} \sin(nt)$。积分限：$x=\pi/2$ 时 $t=\pi/2$，$x=\pi$ 时 $t=0$。于是 $$\int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx = \int_{\pi/2}^{0} t \cdot [(-1)^{n+1} \sin(nt)] (-dt) = (-1)^{n+1} \int_0^{\pi/2} t \sin(nt) \, dt$$ 而 $\int_0^{\pi/2} t \sin(nt) \, dt$ 与第一个积分形式相同，故 $$\int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx = (-1)^{n+1} \left[ -\frac{\pi}{2n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \right]$$ 两个积分相加得 $$\left[1 + (-1)^{n+1}\right] \left( -\frac{\pi}{2n} \cos\frac{n\pi}{2} \right) + \left[1 + (-1)^{n+1}\right] \left( \frac{1}{n^2} \sin\frac{n\pi}{2} \right)$$ 注意 $1 + (-1)^{n+1} = 1 - (-1)^n$。

当 $n$ 为偶数时，$1 - (-1)^n = 0$，故 $b_n = 0$。 当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k-1$（$k=1,2,\ldots$），则 $1 - (-1)^{2k-1} = 2$。代入得 $$b_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot 2 \left[ -\frac{\pi}{2(2k-1)} \cos\frac{(2k-1)\pi}{2} + \frac{1}{(2k-1)^2} \sin\frac{(2k-1)\pi}{2} \right]$$ 由于 $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2} = 0$，$\sin\frac{(2k-1)\pi}{2} = (-1)^{k-1}$，所以 $$b_{2k-1} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}$$

将系数代入傅里叶级数，得到 $$f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2} \sin((2k-1)x)$$ 此即 $\arcsin(\sin x)$ 的傅里叶级数展开，对所有实数 $x$ 成立。