广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
9．求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}} \frac{d S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}}$ ，其中 $h \neq R$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分区域和被积函数的几何意义
曲面为球面 $S: x^2+y^2+z^2=R^2$，被积函数为 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}}$，表示球面上任意一点到点 $(0,0,h)$ 的距离的倒数。因此，曲面积分 $I = \iint_S \frac{1}{r} dS$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}$。
公式：$I = \iint_S \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}} dS$
提示：注意被积函数的分母是距离，具有球对称性，可考虑使用球坐标简化。
步骤 2/6
目标：利用球坐标参数化曲面并化简被积函数
采用球坐标：$x = R\sin\theta\cos\phi$，$y = R\sin\theta\sin\phi$，$z = R\cos\theta$，其中 $\theta \in [0,\pi]$，$\phi \in [0,2\pi)$。面积元 $dS = R^2\sin\theta d\theta d\phi$。计算 $r^2 = x^2+y^2+(z-h)^2 = R^2\sin^2\theta + (R\cos\theta - h)^2 = R^2 - 2Rh\cos\theta + h^2$，所以 $r = \sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh\cos\theta}$。
公式：$r = \sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh\cos\theta}$，$dS = R^2\sin\theta d\theta d\phi$
提示：化简 $r^2$ 时注意利用 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。
步骤 3/6
目标：将曲面积分化为定积分
代入参数化表达式，得 $I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \frac{R^2\sin\theta}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh\cos\theta}} d\theta d\phi$。先对 $\phi$ 积分，得因子 $2\pi$，于是 $I = 2\pi R^2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh\cos\theta}} d\theta$。
公式：$I = 2\pi R^2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh\cos\theta}} d\theta$
提示：注意积分限：$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 4/6
目标：换元简化定积分
令 $u = \cos\theta$，则 $du = -\sin\theta d\theta$。当 $\theta=0$ 时 $u=1$，$\theta=\pi$ 时 $u=-1$。代入得 $I = 2\pi R^2 \int_{1}^{-1} \frac{-du}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh u}} = 2\pi R^2 \int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh u}}$。
公式：$I = 2\pi R^2 \int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh u}}$
提示：换元时注意积分限的变化，负号用于交换上下限。
步骤 5/6
目标：计算定积分并处理绝对值
记 $A = R^2 + h^2$，$B = -2Rh$，则积分 $\int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{A+Bu}} = \frac{2}{B} \left[ \sqrt{A+Bu} \right]_{u=-1}^{1} = \frac{2}{-2Rh} \left( \sqrt{R^2+h^2-2Rh} - \sqrt{R^2+h^2+2Rh} \right)$。由于 $\sqrt{R^2+h^2-2Rh} = |R-h|$，$\sqrt{R^2+h^2+2Rh} = |R+h|$，需分情况讨论：当 $|h|R$ 时，$|R-h| = |h|-R$（若 $h>R$）或 $R+|h|$（若 $h<-R$），差为 $-2R$ 或 $2R$，积分值为 $\frac{2}{|h|}$。
公式：$\int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{R^2 + h^2 - 2Rh u}} = \begin{cases} \frac{2}{R}, & |h|R \end{cases}$
提示：注意 $\sqrt{(R-h)^2} = |R-h|$，不能直接去掉绝对值，需根据 $h$ 与 $R$ 的大小关系讨论。
步骤 6/6
目标：得出最终曲面积分结果
将积分结果代入 $I = 2\pi R^2 \times$ 积分值，得：当 $|h|R$ 时，$I = 2\pi R^2 \cdot \frac{2}{|h|} = \frac{4\pi R^2}{|h|}$。注意题目条件 $h \neq R$，但 $|h|=R$ 时积分发散，故不包含。
公式：$I = \begin{cases} 4\pi R, & |h| < R \\ \dfrac{4\pi R^2}{|h|}, & |h| > R \end{cases}$
提示：最终结果需用分段函数表示，注意 $|h|$ 的使用，确保 $h$ 为负时也正确。
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