广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
7．求三重积分 $\displaystyle \iiint_{V} \frac{d x d y d z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $V$ 是由平面 $x+y+z=1$ 及三个坐标平面围成的立体图形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域并建立累次积分
区域 $V$ 由平面 $x+y+z=1$ 及三个坐标平面 $x=0, y=0, z=0$ 围成，因此 $V$ 是一个四面体，满足 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 且 $x+y+z \le 1$。按 $z, y, x$ 的顺序积分，三重积分化为：
$$
\iiint_V \frac{dx\,dy\,dz}{(1+x+y+z)^3} = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} \,dy\,dx
$$
公式：$$\iiint_V f\,dV = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} \,dy\,dx$$
提示：注意积分限的确定：$z$ 从 $0$ 到 $1-x-y$，$y$ 从 $0$ 到 $1-x$，$x$ 从 $0$ 到 $1$，不要遗漏边界条件。
步骤 2/4
目标：对 z 进行内层积分
计算内层积分：
$$
\int_{z=0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3}
$$
令 $u = 1+x+y+z$，则 $du = dz$，当 $z=0$ 时 $u=1+x+y$，当 $z=1-x-y$ 时 $u=2$。积分变为：
$$
\int_{u=1+x+y}^{2} u^{-3}\,du = \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1+x+y}^{2} = -\frac12\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{(1+x+y)^2}\right) = \frac12\left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac14\right)
$$
公式：$$\int_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} = \frac12\left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac14\right)$$
提示：换元时注意上下限的对应，以及幂函数积分的公式 $\int u^{-3} du = -\frac12 u^{-2}$。
步骤 3/4
目标：对 y 进行积分
将上一步结果代入，对 $y$ 积分：
$$
\int_{y=0}^{1-x} \frac12\left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac14\right) dy = \frac12 \int_{0}^{1-x} \frac{dy}{(1+x+y)^2} - \frac12 \int_{0}^{1-x} \frac14 dy
$$
计算第一部分：令 $v=1+x+y$，$dv=dy$，$y=0$ 时 $v=1+x$，$y=1-x$ 时 $v=2$，则
$$
\int_{0}^{1-x} \frac{dy}{(1+x+y)^2} = \int_{1+x}^{2} v^{-2}\,dv = \left[-v^{-1}\right]_{1+x}^{2} = -\frac12 + \frac{1}{1+x}
$$
第二部分：
$$
\int_{0}^{1-x} \frac14 dy = \frac14 (1-x)
$$
因此对 $y$ 积分的结果为：
$$
\frac12\left(-\frac12 + \frac{1}{1+x}\right) - \frac12 \cdot \frac14 (1-x) = -\frac14 + \frac{1}{2(1+x)} - \frac{1-x}{8} = -\frac{3}{8} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2(1+x)}
$$
公式：$$\int_{0}^{1-x} \frac12\left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac14\right) dy = -\frac{3}{8} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2(1+x)}$$
提示：合并常数项时注意通分：$-\frac14 - \frac18 = -\frac{3}{8}$，$\frac{x}{8}$ 来自 $\frac{1-x}{8}$ 的展开。
步骤 4/4
目标：对 x 进行积分并得出最终结果
对 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} \left( -\frac{3}{8} + \frac{x}{8} + \frac{1}{2(1+x)} \right) dx
$$
分别计算三项：
1. $\int_0^1 -\frac38 dx = -\frac38$
2. $\int_0^1 \frac{x}{8} dx = \frac{1}{8} \cdot \frac12 = \frac{1}{16}$
3. $\int_0^1 \frac{1}{2(1+x)} dx = \frac12 [\ln(1+x)]_0^1 = \frac12 \ln 2$
求和得：
$$
-\frac38 + \frac{1}{16} + \frac12 \ln 2 = -\frac{6}{16} + \frac{1}{16} + \frac12 \ln 2 = -\frac{5}{16} + \frac12 \ln 2
$$
公式：$$\iiint_V \frac{dx\,dy\,dz}{(1+x+y+z)^3} = -\frac{5}{16} + \frac12 \ln 2$$
提示：注意 $\int \frac{1}{1+x} dx = \ln|1+x|$，在区间 $[0,1]$ 上为正，无需绝对值。最终结果需化简为最简形式。
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