广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．求证 $y=x^{a}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续，其中 $0<a<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。与逐点连续不同，这里的 $\delta$ 只能依赖于 $\varepsilon$，不能依赖于具体的点。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：逐点连续的 $\delta$ 可以依赖于 $x_0$，而一致连续的 $\delta$ 必须对区间内所有点一致有效。
步骤 2/5
目标：分析函数特点
函数 $f(x)=x^a$，其中 $0
公式：f'(x)=a x^{a-1}, \quad |f'(x)|\le a \quad (x\ge 1)
提示：注意 $0
步骤 3/5
目标：利用拉格朗日中值定理得到 Lipschitz 条件
对任意 $x_1, x_2 \in [1,+\infty)$，不妨设 $x_1 < x_2$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1-x_2|$。由于 $|f'(\xi)| \le a$，因此 $|f(x_1)-f(x_2)| \le a |x_1-x_2|$，即函数满足 Lipschitz 条件。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)|\cdot|x_1-x_2| \le a|x_1-x_2|
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里 $f(x)=x^a$ 在 $[1,+\infty)$ 上满足条件。
步骤 4/5
目标：由 Lipschitz 条件推出一致连续
由 $|f(x_1)-f(x_2)| \le a|x_1-x_2|$，对任意给定的 $\varepsilon>0$，取 $\delta = \varepsilon / a$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)| \le a|x_1-x_2| < a\cdot(\varepsilon/a) = \varepsilon$。因此函数在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。
公式：\delta = \frac{\varepsilon}{a}
提示：这里 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，与 $x_1,x_2$ 无关，符合一致连续的定义。
步骤 5/5
目标：检查区间端点并得出结论
区间左端点为 $1$，导数在 $x=1$ 处为 $a$，有限，因此上述推理在整个区间 $[1,+\infty)$ 上有效。若区间包含 $0$，则导数在 $0$ 附近无界，情况不同，但本题起点为 $1$，故无问题。结论：函数 $y=x^a$（$0
提示：注意区间端点对导数有界性的影响：如果区间包含 $0$，则 $x^{a-1}$ 在 $0$ 附近无界，不能直接使用此方法。
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