广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6．证明 Green 定理：设闭区域 $D$ 由分段光滑的简单闭曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y)$及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导数．则有
$$
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y
$$
其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将格林定理分解为两个部分，分别证明含P和含Q的等式
格林定理的等式可以拆分为两个部分：
\[
\iint_D -\frac{\partial P}{\partial y} \, dx\,dy = \oint_L P \, dx
\]
和
\[
\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} \, dx\,dy = \oint_L Q \, dy
\]
将两者相加即得定理结论。我们先证明第一部分。
公式：\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \oint_L P\,dx + Q\,dy
提示：注意正负号：P对应负的偏导，Q对应正的偏导。
步骤 2/6
目标：将区域D视为y-型区域，计算含P的二重积分
设D可以表示为y-型区域：
\[
D = \{ (x,y) \mid a \le x \le b,\ \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x) \}
\]
其中\(\phi_1, \phi_2\)分段光滑。则
\[
\iint_D -\frac{\partial P}{\partial y} \, dx\,dy = -\int_a^b \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \, dy \, dx
\]
对y积分得：
\[
= -\int_a^b \big[ P(x, \phi_2(x)) - P(x, \phi_1(x)) \big] \, dx
= \int_a^b P(x, \phi_1(x)) \, dx - \int_a^b P(x, \phi_2(x)) \, dx
\]
公式：\iint_D -\frac{\partial P}{\partial y} \, dx\,dy = \int_a^b P(x, \phi_1(x)) \, dx - \int_a^b P(x, \phi_2(x)) \, dx
提示：注意积分上下限：先对y积分时，下限是\(\phi_1(x)\)，上限是\(\phi_2(x)\)。
步骤 3/6
目标：计算边界曲线积分∮_L P dx，并与二重积分结果比较
边界L由四部分组成：下曲线\(y=\phi_1(x)\)从左到右（x从a到b），上曲线\(y=\phi_2(x)\)从右到左（x从b到a），以及两条竖直边（dx=0，无贡献）。因此
\[
\oint_L P \, dx = \int_a^b P(x, \phi_1(x)) \, dx + \int_b^a P(x, \phi_2(x)) \, dx
\]
第二项反向得：
\[
= \int_a^b P(x, \phi_1(x)) \, dx - \int_a^b P(x, \phi_2(x)) \, dx
\]
这与上一步的二重积分结果完全相同，故第一部分得证。
公式：\oint_L P \, dx = \int_a^b P(x, \phi_1(x)) \, dx - \int_a^b P(x, \phi_2(x)) \, dx
提示：注意曲线方向：正向边界下，下曲线从左到右，上曲线从右到左，导致积分方向相反。
步骤 4/6
目标：将区域D视为x-型区域，计算含Q的二重积分
设D可以表示为x-型区域：
\[
D = \{ (x,y) \mid c \le y \le d,\ \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y) \}
\]
则
\[
\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} \, dx\,dy = \int_c^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} \frac{\partial Q}{\partial x} \, dx \, dy
\]
对x积分得：
\[
= \int_c^d \big[ Q(\psi_2(y), y) - Q(\psi_1(y), y) \big] \, dy
\]
公式：\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} \, dx\,dy = \int_c^d Q(\psi_2(y), y) \, dy - \int_c^d Q(\psi_1(y), y) \, dy
提示：注意积分顺序：先对x积分，下限是\(\psi_1(y)\)，上限是\(\psi_2(y)\)。
步骤 5/6
目标：计算边界曲线积分∮_L Q dy，并与二重积分结果比较
边界L由右曲线\(x=\psi_2(y)\)从下到上（y从c到d），左曲线\(x=\psi_1(y)\)从上到下（y从d到c），以及水平边（dy=0，无贡献）组成。因此
\[
\oint_L Q \, dy = \int_c^d Q(\psi_2(y), y) \, dy + \int_d^c Q(\psi_1(y), y) \, dy
\]
第二项反向得：
\[
= \int_c^d Q(\psi_2(y), y) \, dy - \int_c^d Q(\psi_1(y), y) \, dy
\]
这与上一步的二重积分结果完全相同，故第二部分得证。
公式：\oint_L Q \, dy = \int_c^d Q(\psi_2(y), y) \, dy - \int_c^d Q(\psi_1(y), y) \, dy
提示：注意曲线方向：正向边界下，右曲线从下到上，左曲线从上到下，导致积分方向相反。
步骤 6/6
目标：合并两部分结果，并推广到一般区域
将两部分相加得：
\[
\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy = \oint_L P\,dx + Q\,dy
\]
对于更一般的区域（如非单连通或形状复杂），可将其分割成有限个既是x-型又是y-型的子区域，分别应用上述结果。在子区域边界上，内部线段积分因方向相反互相抵消，最终只剩下整个外边界L的积分。因此格林定理对任意由分段光滑简单闭曲线围成的区域成立。
公式：\boxed{\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y}
提示：推广时需注意区域分割后内部边界的方向：相邻子区域的公共边界方向相反，积分相互抵消。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。