广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．证明 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 条件收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确条件收敛的定义
要证明 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 条件收敛，需要证明两点：
1. 该反常积分收敛；
2. 其绝对值积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| \, dx$ 发散。
公式：条件收敛：积分收敛但绝对值积分发散。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛，不要混淆。
步骤 2/6
目标：利用偶函数简化积分区间
由于 $\frac{\sin x}{x}$ 是偶函数，有
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx.
\]
因此只需研究 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 的收敛性。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$
提示：偶函数性质在对称区间上的应用，注意积分限变换。
步骤 3/6
目标：证明原积分收敛（第一部分：近端点）
将积分拆分为 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx + \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$。
对于 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx$，因为 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以被积函数在 $x=0$ 处可去间断，该积分为正常积分，收敛。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
提示：注意 $x=0$ 不是瑕点，因为极限存在。
步骤 4/6
目标：证明原积分收敛（第二部分：无穷远处）
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$，使用分部积分法：
令 $u = \frac{1}{x}$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = -\frac{1}{x^2} \, dx$，$v = -\cos x$。
\[
\int_1^A \frac{\sin x}{x} \, dx = \left[-\frac{\cos x}{x}\right]_1^A - \int_1^A \frac{\cos x}{x^2} \, dx.
\]
当 $A \to +\infty$ 时，$-\frac{\cos A}{A} \to 0$，而 $\int_1^\infty \frac{|\cos x|}{x^2} \, dx \le \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ 收敛，故 $\int_1^A \frac{\cos x}{x^2} \, dx$ 极限存在。因此 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 收敛。
综上，$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 收敛，从而原积分收敛。
公式：$\int_1^A \frac{\sin x}{x} \, dx = \left[-\frac{\cos x}{x}\right]_1^A - \int_1^A \frac{\cos x}{x^2} \, dx$
提示：分部积分后，注意 $\frac{\cos x}{x^2}$ 的绝对可积性，这是关键。
步骤 5/6
目标：证明绝对值积分发散（放缩法）
考虑 $\int_0^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| \, dx$，将其按周期区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 拆分：
\[
\int_0^\infty \frac{|\sin x|}{x} \, dx = \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx.
\]
在每个区间上，由于 $x \le (k+1)\pi$，有 $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{(k+1)\pi}$，因此
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx \ge \frac{1}{(k+1)\pi} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x| \, dx.
\]
而 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x| \, dx = 2$（每个半周期面积为2），所以
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx \ge \frac{2}{(k+1)\pi}.
\]
于是
\[
\int_0^\infty \frac{|\sin x|}{x} \, dx \ge \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1}.
\]
右边是调和级数，发散，因此绝对值积分发散。
公式：$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x| \, dx = 2$，$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1}$ 发散
提示：放缩时注意分母取最大值（即区间右端点）得到下界，这是常用的技巧。
步骤 6/6
目标：综合结论
由以上推导：
1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 收敛；
2. $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| \, dx$ 发散。
因此该积分条件收敛。
公式：条件收敛的定义
提示：结论要明确写出条件收敛，不要遗漏绝对值发散的部分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。