广西大学 2023年数学分析第0题

设数列 $\{x_n\}$ 是有界数列，即存在实数 $a, b$，使得对一切 $n$，都有 $a \le x_n \le b$。记初始区间为 $[a_1, b_1] = [a, b]$。

将区间 $[a_1, b_1]$ 平分为两个子区间：$\left[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1\right]$。因为原数列有无穷多项，这两个子区间中至少有一个含有数列的无穷多项。选取含有无穷多项的那个子区间，记为 $[a_2, b_2]$。若两个都含有无穷多项，任选一个。继续对 $[a_2, b_2]$ 进行同样的操作，得到 $[a_3, b_3]$，如此继续，得到一列闭区间 $[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset [a_3, b_3] \supset \cdots$，满足每个区间都包含原数列的无穷多项，且区间长度 $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^{n-1}} \to 0 \ (n \to \infty)$。

由闭区间套定理，存在唯一的实数 $\xi$ 属于所有区间，即 $\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \{\xi\}$，并且 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \xi$。

因为每个区间 $[a_k, b_k]$ 中都含有原数列的无穷多项，我们可以依次从中选取一项：在 $[a_1, b_1]$ 中取 $x_{n_1}$；在 $[a_2, b_2]$ 中取 $x_{n_2}$，且保证 $n_2 > n_1$（因为有无穷多项，总能找到更后面的项）；如此继续，得到子列 $\{x_{n_k}\}$。由于对每个 $k$，有 $a_k \le x_{n_k} \le b_k$，而 $a_k, b_k$ 都趋于 $\xi$，由夹逼定理可知 $\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \xi$。

因此，我们找到了一个收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，即证明了有界数列必有收敛子列。