广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6．求第一型曲线积分 $\int_{\Gamma} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d s$ ，其中 $\Gamma$ 是曲线 $x^{2}+y^{2}=x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲线方程并确定曲线形状
给定曲线方程为 \(x^2 + y^2 = x\)，将其改写为 \(x^2 - x + y^2 = 0\)，然后配方：\(\left(x - \frac12\right)^2 + y^2 = \frac14\)。因此曲线 \(\Gamma\) 是以 \((\frac12, 0)\) 为圆心、半径为 \(\frac12\) 的圆。
公式：\(\left(x - \frac12\right)^2 + y^2 = \frac14\)
提示：配方时注意一次项系数的一半，确保正确完成平方。
步骤 2/5
目标：选择参数化并化简被积函数
采用角度参数 \(\theta\)：\(x = \frac12 + \frac12 \cos\theta,\ y = \frac12 \sin\theta\)，其中 \(\theta \in [0, 2\pi]\)。计算 \(x^2 + y^2 = \frac{1+\cos\theta}{2}\)，则被积函数 \(\sqrt{1 - x^2 - y^2} = \sqrt{1 - \frac{1+\cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} = \left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\)。
公式：\(\sqrt{1 - x^2 - y^2} = \left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\)
提示：利用半角公式 \(\frac{1-\cos\theta}{2} = \sin^2\frac{\theta}{2}\)，注意绝对值。
步骤 3/5
目标：计算弧长微元 ds
由参数方程求导：\(x'(\theta) = -\frac12 \sin\theta,\ y'(\theta) = \frac12 \cos\theta\)，则 \(ds = \sqrt{[x'(\theta)]^2 + [y'(\theta)]^2}\, d\theta = \sqrt{\frac14(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}\, d\theta = \frac12 d\theta\)。
公式：\(ds = \frac12 d\theta\)
提示：弧长微元公式 \(ds = \sqrt{(dx/d\theta)^2 + (dy/d\theta)^2}\, d\theta\)，注意系数。
步骤 4/5
目标：将曲线积分化为定积分并计算
积分化为 \(\int_\Gamma \sqrt{1-x^2-y^2}\, ds = \int_0^{2\pi} \left|\sin\frac{\theta}{2}\right| \cdot \frac12\, d\theta\)。在 \(\theta \in [0, 2\pi]\) 上，\(\sin(\theta/2) \ge 0\)，故绝对值可去掉。计算 \(\int_0^{2\pi} \sin\frac{\theta}{2}\, d\theta\)：令 \(u = \theta/2\)，则 \(d\theta = 2 du\)，积分限 \(u\) 从 \(0\) 到 \(\pi\)，得 \(\int_0^{\pi} \sin u \cdot 2\, du = 2[-\cos u]_0^{\pi} = 2(1 - (-1)) = 4\)。因此原积分为 \(\frac12 \times 4 = 2\)。
公式：\(\int_0^{2\pi} \sin\frac{\theta}{2}\, d\theta = 4\)
提示：注意绝对值处理，积分区间内正弦非负；换元时积分限要对应。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
经过计算，第一型曲线积分的值为 \(2\)。
公式：\(\int_\Gamma \sqrt{1-x^2-y^2}\, ds = 2\)
提示：最终结果应化简为最简形式。
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