广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．求由拋物线 $y=x^{2}$ 与 $x+2 y-3=0$ 所围平面图形的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理曲线方程
将直线方程 $x+2y-3=0$ 化为 $y = \frac{3-x}{2}$，抛物线为 $y = x^2$。
公式：y = \frac{3-x}{2}
提示：注意直线方程化为斜截式时，符号不要出错。
步骤 2/5
目标：求交点坐标
联立 $y=x^2$ 与 $y=\frac{3-x}{2}$，得 $x^2 = \frac{3-x}{2}$，整理为 $2x^2 + x - 3 = 0$。解二次方程：判别式 $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$，解得 $x = \frac{-1 \pm 5}{4}$，即 $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
公式：2x^2 + x - 3 = 0, \quad x = \frac{-1 \pm 5}{4}
提示：解二次方程时注意判别式和求根公式的正确使用。
步骤 3/5
目标：确定积分上下限和上下位置
积分区间为 $[-\frac{3}{2}, 1]$。取 $x=0$ 检验：抛物线 $y=0$，直线 $y=1.5$，直线在上方，抛物线在下方。因此面积元素为 $\left(\frac{3-x}{2} - x^2\right) dx$。
公式：\text{面积} = \int_{-3/2}^{1} \left( \frac{3-x}{2} - x^2 \right) dx
提示：在区间内取一个简单点（如中点或0）比较函数值，确定谁在上谁在下。
步骤 4/5
目标：计算定积分
化简被积函数：$\frac{3-x}{2} - x^2 = \frac{3}{2} - \frac{x}{2} - x^2$。求原函数：$\int \left( \frac{3}{2} - \frac{x}{2} - x^2 \right) dx = \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3}$。代入上限 $x=1$：$\frac{3}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{11}{12}$。代入下限 $x=-\frac{3}{2}$：$-\frac{9}{4} - \frac{9}{16} + \frac{9}{8} = -\frac{27}{16}$。面积 = $\frac{11}{12} - \left(-\frac{27}{16}\right) = \frac{11}{12} + \frac{27}{16} = \frac{44}{48} + \frac{81}{48} = \frac{125}{48}$。
公式：\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3} \Big|_{-3/2}^{1} = \frac{125}{48}
提示：代入下限时注意负号和分数的运算，建议通分后计算。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
所求平面图形的面积为 $\frac{125}{48}$。
公式：\boxed{\frac{125}{48}}
提示：答案应化简为最简分数。
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