广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．求定积分 $\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ ，其中 $a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察被积函数，确定代换方法
被积函数为 $x^2 \sqrt{a^2 - x^2}$，积分区间为 $[0, a]$。根号内是 $a^2 - x^2$，提示使用三角代换 $x = a \sin t$。
公式：$x = a \sin t$
提示：注意 $a>0$，代换后 $t$ 的范围由 $x$ 的上下限确定。
步骤 2/6
目标：进行三角代换并计算微分与根号部分
令 $x = a \sin t$，则 $dx = a \cos t \, dt$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=a$ 时 $t = \frac{\pi}{2}$。根号部分：$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} = a \sqrt{1 - \sin^2 t} = a \cos t$，在 $t \in [0, \pi/2]$ 上 $\cos t \ge 0$。
公式：$\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$
提示：注意 $\cos t$ 在区间内非负，无需加绝对值。
步骤 3/6
目标：代入并化简积分表达式
代入得：$x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = (a^2 \sin^2 t) \cdot (a \cos t) \cdot (a \cos t \, dt) = a^4 \sin^2 t \cos^2 t \, dt$。积分变为 $\int_0^a x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$。
公式：$\int_0^a x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$
提示：注意 $dx$ 中的 $a \cos t$ 与根号中的 $a \cos t$ 相乘得到 $a^2 \cos^2 t$，再与 $a^2 \sin^2 t$ 相乘得 $a^4 \sin^2 t \cos^2 t$。
步骤 4/6
目标：利用三角恒等式化简被积函数
使用恒等式 $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$，则积分化为 $a^4 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{4} \sin^2 2t \, dt = \frac{a^4}{4} \int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt$。
公式：$\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$
提示：此恒等式由 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ 平方得到。
步骤 5/6
目标：换元计算 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt$
令 $u = 2t$，则 $dt = \frac{du}{2}$，当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=\pi/2$ 时 $u=\pi$。于是 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt = \int_0^{\pi} \sin^2 u \cdot \frac{du}{2} = \frac12 \int_0^{\pi} \sin^2 u \, du$。利用 $\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$，得 $\int_0^{\pi} \sin^2 u \, du = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2u}{2} \, du = \frac12 \left[ u - \frac{\sin 2u}{2} \right]_0^{\pi} = \frac12 (\pi - 0) = \frac{\pi}{2}$。因此 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt = \frac12 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt = \frac{\pi}{4}$
提示：换元时注意积分限的变化，以及 $\sin^2 u$ 的积分公式。
步骤 6/6
目标：代回得到最终结果
将 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt = \frac{\pi}{4}$ 代入 $\frac{a^4}{4} \int_0^{\pi/2} \sin^2 2t \, dt$，得 $\frac{a^4}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^4}{16}$。
公式：$\int_0^a x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^4}{16}$
提示：最终结果不含 $x$ 或 $t$，只与 $a$ 有关。
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