广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 在第一象限的一条切线，使其被坐标面所截得的线段最短．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设切点并写出切线方程
设椭圆在第一象限的切点为 $(x_0, y_0)$，满足 $x_0>0, y_0>0$ 且在椭圆上，即 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。椭圆在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线方程为 $\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1$。
公式：\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1
提示：切线方程可由椭圆方程两边对 $x$ 求导得到，或直接使用标准公式。
步骤 2/7
目标：求切线在坐标轴上的截距
令 $y=0$，得与 $x$ 轴交点横坐标 $x=\frac{a^2}{x_0}$，即点 $A\left(\frac{a^2}{x_0},0\right)$。令 $x=0$，得与 $y$ 轴交点纵坐标 $y=\frac{b^2}{y_0}$，即点 $B\left(0,\frac{b^2}{y_0}\right)$。
公式：A\left(\frac{a^2}{x_0},0\right),\quad B\left(0,\frac{b^2}{y_0}\right)
提示：注意截距为正，因为 $x_0>0, y_0>0$。
步骤 3/7
目标：写出线段长度表达式并简化目标函数
线段 $AB$ 的长度为 $L=\sqrt{\left(\frac{a^2}{x_0}\right)^2+\left(\frac{b^2}{y_0}\right)^2}$。由于平方根单调递增，只需最小化 $S=\frac{a^4}{x_0^2}+\frac{b^4}{y_0^2}$，约束条件为 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，且 $x_0>0, y_0>0$。
公式：S=\frac{a^4}{x_0^2}+\frac{b^4}{y_0^2}
提示：平方根不影响极值点，可简化计算。
步骤 4/7
目标：用代入法将问题转化为一元函数极值
令 $u=x_0^2, v=y_0^2$，则约束为 $\frac{u}{a^2}+\frac{v}{b^2}=1$，即 $v=b^2\left(1-\frac{u}{a^2}\right)$。代入 $S$ 得 $S(u)=\frac{a^4}{u}+\frac{b^4}{b^2\left(1-\frac{u}{a^2}\right)}=\frac{a^4}{u}+\frac{a^2b^2}{a^2-u}$，其中 $0
公式：S(u)=\frac{a^4}{u}+\frac{a^2b^2}{a^2-u}
提示：注意 $u$ 的取值范围由 $x_0>0$ 和 $y_0>0$ 决定。
步骤 5/7
目标：求导并令导数为零，解出极值点
对 $S(u)$ 求导：$S'(u)=-\frac{a^4}{u^2}+\frac{a^2b^2}{(a^2-u)^2}$。令 $S'(u)=0$，得 $\frac{a^2b^2}{(a^2-u)^2}=\frac{a^4}{u^2}$。两边除以 $a^2$ 得 $\frac{b^2}{(a^2-u)^2}=\frac{a^2}{u^2}$。取正平方根得 $\frac{b}{a^2-u}=\frac{a}{u}$。交叉相乘得 $bu=a(a^2-u)$，整理得 $bu=a^3-au$，即 $u(a+b)=a^3$，所以 $u=\frac{a^3}{a+b}$。
公式：u=\frac{a^3}{a+b}
提示：取平方根时只取正，因为 $a,b,u>0$。
步骤 6/7
目标：回代求切点坐标
由 $u=x_0^2$ 得 $x_0=\sqrt{\frac{a^3}{a+b}}=a\sqrt{\frac{a}{a+b}}$。代入约束 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ 得 $\frac{a}{a+b}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，所以 $\frac{y_0^2}{b^2}=1-\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a+b}$，即 $y_0=b\sqrt{\frac{b}{a+b}}$。
公式：x_0=a\sqrt{\frac{a}{a+b}},\quad y_0=b\sqrt{\frac{b}{a+b}}
提示：切点在第一象限，坐标均为正。
步骤 7/7
目标：求最短线段长度并给出最终答案
计算截距：$\frac{a^2}{x_0}=\frac{a^2}{a\sqrt{\frac{a}{a+b}}}=a\sqrt{\frac{a+b}{a}}=\sqrt{a(a+b)}$，$\frac{b^2}{y_0}=b\sqrt{\frac{a+b}{b}}=\sqrt{b(a+b)}$。所以线段长度 $L_{\min}=\sqrt{a(a+b)+b(a+b)}=\sqrt{(a+b)^2}=a+b$。
公式：L_{\min}=a+b
提示：最终结果简洁，与 $a,b$ 对称。
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