广西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ ，求 $\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对原方程两边关于 x 求导（一阶导数）
原方程为 $e^{x^{2}+y} - x^{2} y = 0$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。对第一项使用链式法则：$\frac{d}{dx} e^{x^{2}+y} = e^{x^{2}+y} \cdot (2x + y')$。对第二项使用乘法法则：$\frac{d}{dx}(x^{2} y) = 2x y + x^{2} y'$。因此求导后得到：$e^{x^{2}+y} (2x + y') - (2x y + x^{2} y') = 0$。
公式：$e^{x^{2}+y}(2x + y') - 2x y - x^{2} y' = 0$
提示：注意 $y$ 是 $x$ 的函数，求导时不要忘记 $y'$ 项。
步骤 2/6
目标：解出 $y'$ 并利用原方程化简
将含 $y'$ 的项移到一边：$e^{x^{2}+y} y' - x^{2} y' = 2x y - 2x e^{x^{2}+y}$，提取 $y'$ 得 $y' (e^{x^{2}+y} - x^{2}) = 2x y - 2x e^{x^{2}+y}$，所以 $y' = \frac{2x y - 2x e^{x^{2}+y}}{e^{x^{2}+y} - x^{2}}$。由原方程 $e^{x^{2}+y} = x^{2} y$，代入分子得 $2x y - 2x (x^{2} y) = 2x y (1 - x^{2})$，分母得 $x^{2} y - x^{2} = x^{2}(y - 1)$，因此 $y' = \frac{2x y (1 - x^{2})}{x^{2} (y - 1)} = \frac{2y (1 - x^{2})}{x (y - 1)}$。
公式：$y' = \frac{2y (1 - x^{2})}{x (y - 1)}$
提示：代入 $e^{x^{2}+y} = x^{2} y$ 可大幅简化表达式，避免复杂运算。
步骤 3/6
目标：对 $y'$ 使用商法则求二阶导数
设 $u = 2y(1 - x^{2})$，$v = x(y - 1)$，则 $y' = \frac{u}{v}$，$y'' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$。先求 $u' = 2y'(1 - x^{2}) + 2y(-2x) = 2y'(1 - x^{2}) - 4xy$。再求 $v' = 1 \cdot (y - 1) + x y' = y - 1 + x y'$。代入得 $y'' = \frac{[2y'(1 - x^{2}) - 4xy] \cdot x(y - 1) - 2y(1 - x^{2}) \cdot (y - 1 + x y')}{x^{2}(y - 1)^{2}}$。
公式：$y'' = \frac{[2y'(1 - x^{2}) - 4xy] \cdot x(y - 1) - 2y(1 - x^{2}) \cdot (y - 1 + x y')}{x^{2}(y - 1)^{2}}$
提示：商法则中注意 $u$ 和 $v$ 的求导要正确，特别是 $u$ 中 $y$ 和 $x$ 的乘积项。
步骤 4/6
目标：代入 $y'$ 并化简分子第一部分
已知 $y' = \frac{2y(1 - x^{2})}{x(y - 1)}$，先计算 $y'(1 - x^{2}) = \frac{2y(1 - x^{2})^{2}}{x(y - 1)}$，则 $2y'(1 - x^{2}) = \frac{4y(1 - x^{2})^{2}}{x(y - 1)}$。分子第一部分 $[2y'(1 - x^{2}) - 4xy] \cdot x(y - 1) = \left[ \frac{4y(1 - x^{2})^{2}}{x(y - 1)} - 4xy \right] \cdot x(y - 1) = 4y(1 - x^{2})^{2} - 4x^{2} y (y - 1)$。
公式：$[2y'(1 - x^{2}) - 4xy] \cdot x(y - 1) = 4y(1 - x^{2})^{2} - 4x^{2} y (y - 1)$
提示：乘开时注意 $x(y-1)$ 与分式相乘时约去分母，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：化简分子第二部分并合并整体分子
分子第二部分为 $- 2y(1 - x^{2}) \cdot (y - 1 + x y')$。先计算 $y - 1 + x y' = y - 1 + x \cdot \frac{2y(1 - x^{2})}{x(y - 1)} = y - 1 + \frac{2y(1 - x^{2})}{y - 1} = \frac{(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})}{y - 1}$。因此第二部分 $= - 2y(1 - x^{2}) \cdot \frac{(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})}{y - 1} = -\frac{2y(1 - x^{2})[(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})]}{y - 1}$。分子整体为 $4y(1 - x^{2})^{2} - 4x^{2} y (y - 1) - \frac{2y(1 - x^{2})[(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})]}{y - 1}$。将前两项通分，分母为 $y-1$，得分子 $= \frac{4y(1 - x^{2})^{2}(y - 1) - 4x^{2} y (y - 1)^{2} - 2y(1 - x^{2})[(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})]}{y - 1}$。提取公因子 $y$ 得 $\frac{y \left[ 4(1 - x^{2})^{2}(y - 1) - 4x^{2} (y - 1)^{2} - 2(1 - x^{2})[(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})] \right]}{y - 1}$。
公式：分子 $= \frac{y \left[ 4(1 - x^{2})^{2}(y - 1) - 4x^{2} (y - 1)^{2} - 2(1 - x^{2})[(y - 1)^{2} + 2y(1 - x^{2})] \right]}{y - 1}$
提示：通分时注意每一项都要乘以分母 $y-1$，并小心符号。
步骤 6/6
目标：进一步化简括号内表达式
令 $A = 1 - x^{2}$，$B = y - 1$，则 $y = B + 1$。括号内为 $4A^{2} B - 4x^{2} B^{2} - 2A (B^{2} + 2y A) = 4A^{2}B - 4x^{2}B^{2} - 2A B^{2} - 4A^{2}(B+1)$。合并 $4A^{2}B - 4A^{2}B = 0$，剩余 $- 4x^{2}B^{2} - 2A B^{2} - 4A^{2}$。代入 $A = 1 - x^{2}$，得 $- 4x^{2}B^{2} - 2(1 - x^{2})B^{2} - 4(1 - x^{2})^{2} = -B^{2}(4x^{2} + 2 - 2x^{2}) - 4(1 - x^{2})^{2} = -B^{2}(2x^{2} + 2) - 4(1 - x^{2})^{2} = -2B^{2}(x^{2} + 1) - 4(1 - x^{2})^{2}$。因此分子 $= \frac{y \left[ -2(y-1)^{2}(x^{2}+1) - 4(1 - x^{2})^{2} \right]}{y - 1}$。最终 $y'' = \frac{-2y \left[ (y-1)^{2}(x^{2}+1) + 2(1 - x^{2})^{2} \right]}{x^{2}(y-1)^{3}}$。
公式：$y'' = \frac{-2y \left[ (y-1)^{2}(x^{2}+1) + 2(1 - x^{2})^{2} \right]}{x^{2}(y-1)^{3}}$
提示：化简时注意合并同类项，并检查符号是否正确，最终结果可保留因式分解形式。
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