广西大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分子有理化，消除根号差
将分子分母同时乘以 $\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}$，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x})(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})}{x(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})}$$
利用平方差公式化简分子：
$$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+\tan x)-(1-\sin x)}{x(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x+\sin x}{x(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})}$$
公式：$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$
提示：注意分子有理化时，分母也要乘以相同的因子，保持等式成立。
步骤 2/5
目标：将极限拆分为两个部分
将原极限写为两个极限的乘积：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x+\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}}$$
这样便于分别处理分子部分和分母部分。
公式：$\frac{A}{B \cdot C} = \frac{A}{B} \cdot \frac{1}{C}$
提示：拆分时确保分母不为零，此处当 $x \to 0$ 时分母趋向于2，安全。
步骤 3/5
目标：计算分子部分的极限
将分子部分拆开：
$$\frac{\tan x+\sin x}{x} = \frac{\tan x}{x} + \frac{\sin x}{x}$$
利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$ 和 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x+\sin x}{x} = 1+1 = 2$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1$，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，当 $x \to 0$ 时 $\cos x \to 1$，所以 $\frac{\tan x}{x} \to 1$。
步骤 4/5
目标：计算分母部分的极限
当 $x \to 0$ 时，$\tan x \to 0$，$\sin x \to 0$，因此：
$$\sqrt{1+\tan x} \to 1, \quad \sqrt{1-\sin x} \to 1$$
所以分母部分趋向于：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$
公式：$\lim_{x \to 0} \sqrt{1+\tan x}=1$，$\lim_{x \to 0} \sqrt{1-\sin x}=1$
提示：直接代入 $x=0$ 即可，因为根号函数在 $x=0$ 处连续。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终极限
将两部分极限相乘：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$
公式：$\lim_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$（当极限存在时）
提示：确保两个极限都存在且有限，才能使用乘积法则。
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