📝 广西大学 2024年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}$ ．

2、设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 是由方程

$$
x^{2}-x y+y^{2}=1
$$

确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

3、抛物线 $\displaystyle y^{2}=2 x$ 将 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 8$ 分成左右两部分，求左右两部分面积之比。

4、求 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 上一点，使得此点处的法线被抛物线截取的线段最短．

5、求曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在第 1 象限的部分．

6、求三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是直线 $\displaystyle z=y, x=0$ 绕 $z$ 轴旋转所得曲面与 $\displaystyle z=1$ 围成的区域。

7、求 $\displaystyle y=\arcsin (\cos x)$ 的傅里叶级数展开式。

8、求曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中

$$
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0
$$

9．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，若 $\displaystyle a_{n}, a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

11、证明：$\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x^{2}}$ 是有界函数．

12、证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty),(\delta>0)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛。

13、由闭域套定理证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的有界无限点集 $\displaystyle \mathbf{E}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中至少有一个聚点．

14、设 $S$ 是包围 $V$ 的光滑曲面，证明：$V$ 的体积 $\displaystyle \Delta V$ 为：

$$
\Delta V=\frac{1}{3} \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} S
$$

其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的外法线的方向余弦。
【注】个别题目不全，欢迎留言补充，或者投稿完善！