广西大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2、设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 是由方程
$$
x^{2}-x y+y^{2}=1
$$
确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件与求导目标
已知 $z = x^2 + y^2$，且 $y = f(x)$ 由方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 隐式确定。需要求 $\frac{d^2 z}{dx^2}$。由于 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，而 $y$ 又是 $x$ 的函数，求导时需使用链式法则。
公式：$z = x^2 + y^2$，$x^2 - xy + y^2 = 1$
提示：注意区分 $z$ 对 $x$ 的直接依赖和通过 $y$ 的间接依赖。
步骤 2/8
目标：求一阶导数 $\frac{dz}{dx}$
对 $z = x^2 + y^2$ 两边关于 $x$ 求导，应用链式法则：
$$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$$
公式：$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y y'$
提示：不要忘记 $y^2$ 对 $x$ 求导时要乘以 $y'$。
步骤 3/8
目标：从隐函数方程求 $\frac{dy}{dx}$
对方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 两边对 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数）：
$$2x - \left( y + x\frac{dy}{dx} \right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
整理得：
$$2x - y - x y' + 2y y' = 0$$
合并含 $y'$ 的项：
$$2x - y + (2y - x) y' = 0$$
解得：
$$y' = \frac{y - 2x}{2y - x}$$
公式：$y' = \frac{y - 2x}{2y - x}$
提示：注意 $-xy$ 求导时要用乘积法则，得到 $-y - x y'$。
步骤 4/8
目标：写出二阶导数 $\frac{d^2z}{dx^2}$ 的表达式
对 $\frac{dz}{dx} = 2x + 2y y'$ 再次对 $x$ 求导：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = 2 + 2(y')^2 + 2y y''$$
公式：$\frac{d^2z}{dx^2} = 2 + 2(y')^2 + 2y y''$
提示：对 $2y y'$ 求导时，要用乘积法则：$(2y y')' = 2y' \cdot y' + 2y \cdot y''$。
步骤 5/8
目标：求 $y''$
由 $y' = \frac{y - 2x}{2y - x}$，令 $u = y - 2x$，$v = 2y - x$，则 $u' = y' - 2$，$v' = 2y' - 1$。应用商的求导法则：
$$y'' = \frac{u'v - u v'}{v^2} = \frac{(y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1)}{(2y - x)^2}$$
展开分子：
第一项：$(y' - 2)(2y - x) = 2y y' - x y' - 4y + 2x$
第二项：$(y - 2x)(2y' - 1) = 2y y' - y - 4x y' + 2x$
分子相减得：
$$[2y y' - x y' - 4y + 2x] - [2y y' - y - 4x y' + 2x] = 3x y' - 3y = 3(x y' - y)$$
因此：
$$y'' = \frac{3(x y' - y)}{(2y - x)^2}$$
公式：$y'' = \frac{3(x y' - y)}{(2y - x)^2}$
提示：展开时注意符号，减去第二项时要变号。
步骤 6/8
目标：化简 $y''$ 的表达式
代入 $y' = \frac{y - 2x}{2y - x}$ 计算 $x y' - y$：
$$x y' - y = x \cdot \frac{y - 2x}{2y - x} - y = \frac{x(y - 2x) - y(2y - x)}{2y - x} = \frac{xy - 2x^2 - 2y^2 + xy}{2y - x} = \frac{2xy - 2x^2 - 2y^2}{2y - x} = \frac{2(xy - x^2 - y^2)}{2y - x}$$
由原方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 得 $xy - x^2 - y^2 = -1$，所以：
$$x y' - y = \frac{2(-1)}{2y - x} = \frac{-2}{2y - x}$$
代入 $y''$ 表达式：
$$y'' = \frac{3 \cdot \frac{-2}{2y - x}}{(2y - x)^2} = \frac{-6}{(2y - x)^3}$$
公式：$y'' = \frac{-6}{(2y - x)^3}$
提示：利用原方程化简 $xy - x^2 - y^2$ 是关键步骤，注意符号。
步骤 7/8
目标：代入并化简 $\frac{d^2z}{dx^2}$
将 $y'$ 和 $y''$ 代入 $\frac{d^2z}{dx^2} = 2 + 2(y')^2 + 2y y''$：
$$(y')^2 = \frac{(y - 2x)^2}{(2y - x)^2}, \quad 2y y'' = 2y \cdot \frac{-6}{(2y - x)^3} = \frac{-12y}{(2y - x)^3}$$
所以：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = 2 + \frac{2(y - 2x)^2}{(2y - x)^2} - \frac{12y}{(2y - x)^3}$$
通分分母 $(2y - x)^3$：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(2y - x)^3 + 2(y - 2x)^2(2y - x) - 12y}{(2y - x)^3}$$
公式：$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(2y - x)^3 + 2(y - 2x)^2(2y - x) - 12y}{(2y - x)^3}$
提示：通分时注意每一项都要乘以适当的因子。
步骤 8/8
目标：利用原方程进一步化简最终结果
由原方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$，可得：
$$(2y - x)^2 = 4y^2 - 4xy + x^2 = 3y^2 + (x^2 - xy + y^2) = 3y^2 + 1$$
$$(y - 2x)^2 = y^2 - 4xy + 4x^2 = 3x^2 + (x^2 - xy + y^2) = 3x^2 + 1$$
代入分子：
$$2(2y - x)^3 + 2(y - 2x)^2(2y - x) - 12y = 2(2y - x)(3y^2 + 1) + 2(3x^2 + 1)(2y - x) - 12y$$
提取公因式 $2(2y - x)$：
$$= 2(2y - x)[(3y^2 + 1) + (3x^2 + 1)] - 12y = 2(2y - x)(3x^2 + 3y^2 + 2) - 12y$$
因此最终结果为：
$$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(2y - x)(3x^2 + 3y^2 + 2) - 12y}{(2y - x)^3}$$
公式：$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{2(2y - x)(3x^2 + 3y^2 + 2) - 12y}{(2y - x)^3}$
提示：利用原方程简化平方项是本题的化简技巧，注意 $(2y-x)^3 = (2y-x)(2y-x)^2$。
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