广西大学 2024年数学分析第3题

圆的方程为 $x^2 + y^2 \le 8$，圆心在原点，半径 $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。抛物线方程为 $y^2 = 2x$，开口向右，顶点在原点。将 $y^2 = 2x$ 代入圆的方程得 $x^2 + 2x = 8$，即 $x^2 + 2x - 8 = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = -4$。由于抛物线要求 $x \ge 0$，取 $x = 2$，代入得 $y^2 = 4$，即 $y = \pm 2$。所以交点为 $(2, 2)$ 和 $(2, -2)$。

抛物线将圆分成左右两部分：右边部分由圆和抛物线围成，左边部分为圆中剩余部分。右边部分在 $x$ 从 $0$ 到 $2$ 时，上边界为圆的上半 $y = \sqrt{8 - x^2}$，下边界为抛物线上支 $y = \sqrt{2x}$；在 $x$ 从 $2$ 到 $2\sqrt{2}$ 时，右边部分只有圆的上半部分（从 $y=0$ 到 $y=\sqrt{8-x^2}$）。利用对称性，先计算上半部分面积再乘以2。

令 $x = 2\sqrt{2}\sin\theta$，则 $dx = 2\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta$。当 $x=0$ 时 $\theta=0$；当 $x=2$ 时 $\sin\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，故 $\theta = \frac{\pi}{4}$。被积函数 $\sqrt{8-x^2} = 2\sqrt{2}\cos\theta$，于是积分化为 $\int_0^{\pi/4} 8\cos^2\theta\,d\theta$。利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，得 $4\int_0^{\pi/4} (1+\cos2\theta)\,d\theta = 4\left[\theta + \frac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\pi/4} = 4\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) = \pi + 2$。

$\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^2 x^{1/2}\,dx = \sqrt{2} \cdot \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^2 = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{8}{3}$。

同样令 $x = 2\sqrt{2}\sin\theta$，当 $x=2$ 时 $\theta = \frac{\pi}{4}$；当 $x=2\sqrt{2}$ 时 $\theta = \frac{\pi}{2}$。积分化为 $\int_{\pi/4}^{\pi/2} 8\cos^2\theta\,d\theta = 4\left[\theta + \frac{\sin2\theta}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 4\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = \pi - 2$。

上半部分右边区域面积为 $(\pi + 2) - \frac{8}{3} + (\pi - 2) = 2\pi - \frac{8}{3}$。由对称性，整个右边部分面积为 $S_{\text{右}} = 2\left(2\pi - \frac{8}{3}\right) = 4\pi - \frac{16}{3}$。

整个圆的面积为 $S_{\text{圆}} = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$。左边部分面积为 $S_{\text{左}} = 8\pi - \left(4\pi - \frac{16}{3}\right) = 4\pi + \frac{16}{3}$。

左右面积之比为 $\frac{S_{\text{左}}}{S_{\text{右}}} = \frac{4\pi + \frac{16}{3}}{4\pi - \frac{16}{3}} = \frac{12\pi + 16}{12\pi - 16} = \frac{4(3\pi + 4)}{4(3\pi - 4)} = \frac{3\pi + 4}{3\pi - 4}$。