广西大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4、求 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 上一点，使得此点处的法线被抛物线截取的线段最短．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设点并求切线斜率与法线方程
设抛物线上一点为 $P(x_0, y_0)$，满足 $y_0^2 = 2p x_0$。对 $y^2 = 2px$ 两边对 $x$ 求导得 $2y y' = 2p$，即 $y' = \frac{p}{y}$。所以在 $P$ 处的切线斜率为 $k_t = \frac{p}{y_0}$，法线斜率为 $k_n = -\frac{y_0}{p}$。法线方程为 $y - y_0 = -\frac{y_0}{p}(x - x_0)$。
公式：y' = \frac{p}{y}, \quad k_n = -\frac{y_0}{p}
提示：注意法线斜率是切线斜率的负倒数，且分母 $y_0$ 不能为0，需单独考虑 $y_0=0$ 的情况（但此时法线为 $x$ 轴，截距无限长，不是最短点）。
步骤 2/6
目标：求法线与抛物线的另一个交点
将法线方程改写为 $x = x_0 - \frac{p}{y_0}(y - y_0)$，代入抛物线 $y^2 = 2px$，并利用 $x_0 = \frac{y_0^2}{2p}$，得 $y^2 = 2p\left(\frac{y_0^2}{2p} - \frac{p}{y_0}(y - y_0)\right) = y_0^2 - \frac{2p^2}{y_0}(y - y_0)$。整理得 $y^2 + \frac{2p^2}{y_0} y - (y_0^2 + 2p^2) = 0$。已知一个根为 $y = y_0$。
公式：y^2 + \frac{2p^2}{y_0} y - (y_0^2 + 2p^2) = 0
提示：代入时注意符号，$y_0$ 可能为负，但推导过程对正负均成立。
步骤 3/6
目标：利用韦达定理求另一交点坐标
设另一交点为 $Q(x_1, y_1)$，由韦达定理，两根之和 $y_0 + y_1 = -\frac{2p^2}{y_0}$，所以 $y_1 = -y_0 - \frac{2p^2}{y_0}$。再由抛物线方程得 $x_1 = \frac{y_1^2}{2p}$。两点间距离平方为 $L^2 = (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2$。
公式：y_1 = -y_0 - \frac{2p^2}{y_0}, \quad x_1 = \frac{y_1^2}{2p}
提示：利用已知根简化二次方程，避免直接解方程。
步骤 4/6
目标：用参数简化表达式
令 $y_0 = t$，则 $x_0 = \frac{t^2}{2p}$，$y_1 = -t - \frac{2p^2}{t}$，$x_1 = \frac{1}{2p}\left(t + \frac{2p^2}{t}\right)^2$。计算差值：$x_1 - x_0 = \frac{1}{2p}\left[\left(t + \frac{2p^2}{t}\right)^2 - t^2\right] = \frac{1}{2p}\left(4p^2 + \frac{4p^4}{t^2}\right) = 2p + \frac{2p^3}{t^2}$，$y_1 - y_0 = -2t - \frac{2p^2}{t}$。于是 $L^2 = \left(2p + \frac{2p^3}{t^2}\right)^2 + \left(-2t - \frac{2p^2}{t}\right)^2 = 4\left[\left(p + \frac{p^3}{t^2}\right)^2 + \left(t + \frac{p^2}{t}\right)^2\right]$。
公式：L^2 = 4\left[\left(p + \frac{p^3}{t^2}\right)^2 + \left(t + \frac{p^2}{t}\right)^2\right]
提示：提取公因子4时注意每一项的系数，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：化简并求最小值
展开括号：$\left(p + \frac{p^3}{t^2}\right)^2 = p^2 + \frac{2p^4}{t^2} + \frac{p^6}{t^4}$，$\left(t + \frac{p^2}{t}\right)^2 = t^2 + 2p^2 + \frac{p^4}{t^2}$。相加得 $t^2 + 3p^2 + \frac{3p^4}{t^2} + \frac{p^6}{t^4}$，所以 $L^2 = 4\left(t^2 + 3p^2 + \frac{3p^4}{t^2} + \frac{p^6}{t^4}\right)$。令 $u = t^2 > 0$，则 $L^2 = 4\left(u + 3p^2 + \frac{3p^4}{u} + \frac{p^6}{u^2}\right)$。对 $u$ 求导：$\frac{d(L^2)}{du} = 4\left(1 - \frac{3p^4}{u^2} - \frac{2p^6}{u^3}\right) = 0$，即 $u^3 - 3p^4 u - 2p^6 = 0$。因式分解得 $(u - 2p^2)(u^2 + 2p^2 u + p^4) = 0$，正根为 $u = 2p^2$，即 $t^2 = 2p^2$，$t = \pm \sqrt{2}p$。
公式：u^3 - 3p^4 u - 2p^6 = 0, \quad u = 2p^2
提示：求导后方程乘以 $u^3$ 化为三次方程，注意检验 $u=2p^2$ 是否为根，并舍去负根或复数根。
步骤 6/6
目标：确定最短线段长度及对应点坐标
由 $t^2 = 2p^2$ 得 $y_0 = \pm \sqrt{2}p$，$x_0 = \frac{y_0^2}{2p} = p$。代入 $L^2$ 表达式：$L^2 = 4\left(2p^2 + 3p^2 + \frac{3p^4}{2p^2} + \frac{p^6}{4p^4}\right) = 4\left(5p^2 + \frac{3p^2}{2} + \frac{p^2}{4}\right) = 4 \cdot \frac{27p^2}{4} = 27p^2$，所以 $L = 3\sqrt{3}p$。因此所求点为 $(p, \pm \sqrt{2}p)$，最短法线段长度为 $3\sqrt{3}p$。
公式：L = 3\sqrt{3}p, \quad (x_0, y_0) = (p, \pm \sqrt{2}p)
提示：代入时注意 $t^2 = 2p^2$，计算分数要仔细，最终结果需化简。
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