广西大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6、求三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是直线 $\displaystyle z=y, x=0$ 绕 $z$ 轴旋转所得曲面与 $\displaystyle z=1$ 围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定旋转曲面方程
给定直线为 $z = y, x = 0$，这是 $yz$ 平面内过原点的直线。绕 $z$ 轴旋转时，点到 $z$ 轴的距离保持不变。直线上点 $(0, y_0, z)$ 满足 $z = y_0$，且到 $z$ 轴距离为 $|y_0|$。旋转后点 $(x, y, z)$ 满足 $\sqrt{x^2 + y^2} = |y_0|$，代入 $z = y_0$ 得 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$（取上半部分）。
公式：z = \sqrt{x^2 + y^2}
提示：注意旋转时距离不变，且题目与 $z=1$ 围成，故取正锥面。
步骤 2/6
目标：确定积分区域
区域 $V$ 由锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和平面 $z = 1$ 围成。在 $z$ 方向上，从锥面到平面：$\sqrt{x^2 + y^2} \le z \le 1$。在 $xy$ 平面上的投影：当 $z=1$ 时，锥面截口为 $x^2 + y^2 = 1$，故投影区域 $D$ 为 $x^2 + y^2 \le 1$。
公式：\sqrt{x^2 + y^2} \le z \le 1, \quad x^2 + y^2 \le 1
提示：投影区域由锥面与平面交线确定。
步骤 3/6
目标：选择坐标系并转化积分
由于区域和被积函数具有旋转对称性，采用柱坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，体积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$。被积函数 $x^2 + y^2 + z = r^2 + z$。积分区域：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le 1$，$r \le z \le 1$。
公式：I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=r}^{1} (r^2 + z)\, r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
提示：柱坐标中 $r$ 来自雅可比行列式，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：计算内层对 $z$ 的积分
先对 $z$ 积分：$\int_{z=r}^{1} (r^2 + z)\,\mathrm{d}z = \left[ r^2 z + \frac{z^2}{2} \right]_{z=r}^{1} = (r^2 \cdot 1 + \frac{1}{2}) - (r^2 \cdot r + \frac{r^2}{2}) = r^2 + \frac12 - r^3 - \frac{r^2}{2} = \frac{r^2}{2} - r^3 + \frac12$。
公式：\int_{z=r}^{1} (r^2 + z)\,\mathrm{d}z = \frac{r^2}{2} - r^3 + \frac12
提示：注意积分上下限代入时，$z$ 的下限是 $r$ 而非 $0$。
步骤 5/6
目标：计算对 $r$ 的积分
将上一步结果乘以 $r$ 后对 $r$ 积分：$\int_{0}^{1} \left( \frac{r^2}{2} - r^3 + \frac12 \right) r \,\mathrm{d}r = \int_{0}^{1} \left( \frac{r^3}{2} - r^4 + \frac{r}{2} \right) \mathrm{d}r$。逐项积分：$\int_0^1 \frac{r^3}{2} \mathrm{d}r = \frac12 \cdot \frac14 = \frac18$，$\int_0^1 - r^4 \mathrm{d}r = -\frac15$，$\int_0^1 \frac{r}{2} \mathrm{d}r = \frac12 \cdot \frac12 = \frac14$。相加得 $\frac18 - \frac15 + \frac14 = \frac{5}{40} - \frac{8}{40} + \frac{10}{40} = \frac{7}{40}$。
公式：\int_{0}^{1} \left( \frac{r^3}{2} - r^4 + \frac{r}{2} \right) \mathrm{d}r = \frac{7}{40}
提示：分数通分时注意分母统一为40。
步骤 6/6
目标：乘上 $\theta$ 积分并得出最终结果
最后乘上 $\theta$ 的积分 $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi$，得 $I = 2\pi \cdot \frac{7}{40} = \frac{7\pi}{20}$。
公式：I = \frac{7\pi}{20}
提示：最终答案需化简分数。
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