广西大学 2024年数学分析第7题

利用恒等式 $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$，并考虑反正弦函数的主值范围 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，得到： 当 $x \in [0, \pi]$ 时，$\arcsin(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$； 当 $x \in [-\pi, 0]$ 时，$\arcsin(\cos x) = \frac{\pi}{2} + x$。 因此在一个周期 $[-\pi, \pi]$ 上，函数可写为分段形式： $$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} + x, & -\pi \le x \le 0 \\ \frac{\pi}{2} - x, & 0 \le x \le \pi \end{cases}$$

计算 $f(-x)$：当 $x > 0$ 时，$-x < 0$，则 $f(-x) = \frac{\pi}{2} + (-x) = \frac{\pi}{2} - x = f(x)$；同理可验证 $x<0$ 时也成立。因此 $f(x)$ 是偶函数，傅里叶级数中只含余弦项和常数项，正弦项系数 $b_n = 0$。

周期 $T = 2\pi$，偶函数的 $a_0$ 公式为 $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx$。代入 $f(x) = \frac{\pi}{2} - x$： $$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left( \frac{\pi}{2} - x \right) dx = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \cdot \pi - \frac{\pi^2}{2} \right) = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$$

偶函数的 $a_n$ 公式为 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \cos(nx) \, dx$。 先计算 $\int_0^\pi \frac{\pi}{2} \cos(nx) dx = \frac{\pi}{2} \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = 0$。 再计算 $\int_0^\pi x \cos(nx) dx$，使用分部积分：令 $u=x, dv=\cos(nx)dx$，得 $du=dx, v=\frac{\sin(nx)}{n}$，则 $$\int_0^\pi x \cos(nx) dx = \left[ x \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n} dx = 0 - \frac{1}{n} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi = \frac{1}{n^2} [\cos(n\pi) - 1] = \frac{(-1)^n - 1}{n^2}$$ 因此 $$a_n = -\frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n^2}$$ 当 $n$ 为偶数时，$a_n = 0$；当 $n$ 为奇数时，令 $n = 2k-1$，则 $a_{2k-1} = \frac{4}{\pi (2k-1)^2}$。

由于函数是偶函数且连续（在端点 $x=\pm\pi$ 处函数值相等），傅里叶级数一致收敛于函数本身。将系数代入傅里叶级数公式 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$，得： $$\arcsin(\cos x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \cos\big((2k-1)x\big)$$ 通常将 $k$ 改写为 $n$，得到最终结果。