广西大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8、求曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中
$$
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化被积函数
曲面 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2, z\ge 0$，关于 $x$ 和 $y$ 轴对称。被积函数中 $x$ 和 $y$ 是奇函数，在对称区域上积分为零，因此
\[
\iint_S (x+y+z)\,dS = \iint_S z\,dS.
\]
公式：\iint_S x\,dS = \iint_S y\,dS = 0
提示：注意对称性只适用于积分区域关于坐标轴对称且被积函数为奇函数的情形。
步骤 2/4
目标：将曲面投影到 $xOy$ 平面并计算面积元
将上半球面表示为 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，投影区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \le a^2$。计算偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}.
\]
面积元为
\[
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,dy.
\]
公式：dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,dy
提示：计算 $1+z_x^2+z_y^2$ 时注意化简为 $\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}$。
步骤 3/4
目标：将曲面积分转化为二重积分并计算
被积函数 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$，代入面积元得
\[
\iint_S z\,dS = \iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,dy = \iint_D a\,dx\,dy.
\]
投影区域 $D$ 是半径为 $a$ 的圆盘，面积为 $\pi a^2$，因此
\[
\iint_S z\,dS = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3.
\]
公式：\iint_D a\,dx\,dy = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3
提示：注意 $\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与分母约简后得到常数 $a$，避免计算复杂积分。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
由于 $x$ 和 $y$ 的积分贡献为零，原曲面积分即为 $\pi a^3$。
\[
\boxed{\pi a^3}
\]
公式：\iint_S (x+y+z)\,dS = \pi a^3
提示：最终结果只依赖于半径 $a$，可代入具体数值验证。
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