广西大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，若 $\displaystyle a_{n}, a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件并导出有界性
已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0$，由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \varepsilon$。特别取 $\varepsilon = \frac{a}{2}$，则当 $n$ 充分大时，有 $\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$，因此 $a_n$ 有正的下界和上界。
公式：$\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$
提示：注意 $a>0$ 是保证下界为正的关键，否则无法取对数。
步骤 2/4
目标：将目标极限转化为对数形式
要证 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$，考虑取自然对数：$\ln \sqrt[n]{a_n} = \frac{\ln a_n}{n}$。若能证明 $\frac{\ln a_n}{n} \to 0$，则原极限为 $e^0 = 1$。
公式：$\ln \sqrt[n]{a_n} = \frac{\ln a_n}{n}$
提示：对数变换是处理幂指型极限的常用技巧。
步骤 3/4
目标：利用有界性估计对数项
由第一步，当 $n$ 充分大时，$\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$，取对数（所有数大于0）得：$\ln\left(\frac{a}{2}\right) < \ln a_n < \ln\left(\frac{3a}{2}\right)$。因此 $\ln a_n$ 是有界数列，存在常数 $M > 0$ 使得 $|\ln a_n| \le M$ 对足够大的 $n$ 成立。
公式：$\ln\left(\frac{a}{2}\right) < \ln a_n < \ln\left(\frac{3a}{2}\right)$
提示：对数函数的单调性保证了不等号方向不变。
步骤 4/4
目标：计算极限并得出结论
由于 $|\ln a_n| \le M$，则 $\left|\frac{\ln a_n}{n}\right| \le \frac{M}{n}$。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} \frac{M}{n} = 0$，故 $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{n} = 0$。因此 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$
提示：注意这里用到了 $e^x$ 的连续性，即 $\lim x_n = 0$ 时 $\lim e^{x_n} = e^0$。
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