广西大学 2024年数学分析第5题

曲线 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在第一象限的部分，即 $x\ge 0, y\ge 0$。采用椭圆的参数方程：$x = a\cos t,\; y = b\sin t$，其中参数 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 对应第一象限。

对参数方程求导：$\frac{dx}{dt} = -a\sin t,\; \frac{dy}{dt} = b\cos t$。则弧长微元为 $ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}\,dt$。

被积函数 $xy = (a\cos t)(b\sin t) = ab\sin t\cos t$。因此曲线积分化为 $\int_L xy\,ds = \int_{0}^{\pi/2} ab\sin t\cos t\,\sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}\,dt$。

令 $u = \sin^2 t$，则 $du = 2\sin t\cos t\,dt$，即 $\sin t\cos t\,dt = \frac{du}{2}$。当 $t=0$ 时 $u=0$，$t=\pi/2$ 时 $u=1$。根号内：$a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t = a^2 u + b^2(1-u) = b^2 + (a^2-b^2)u$。积分化为 $I = ab\int_0^1 \frac{1}{2}\sqrt{b^2+(a^2-b^2)u}\,du = \frac{ab}{2}\int_0^1 \sqrt{b^2+(a^2-b^2)u}\,du$。

设 $a\neq b$，令 $v = b^2+(a^2-b^2)u$，则 $dv = (a^2-b^2)du$，$u=0$ 时 $v=b^2$，$u=1$ 时 $v=a^2$。于是 $I = \frac{ab}{2}\int_{b^2}^{a^2} \sqrt{v}\cdot\frac{dv}{a^2-b^2} = \frac{ab}{2(a^2-b^2)}\int_{b^2}^{a^2} v^{1/2}\,dv$。计算积分：$\int v^{1/2}\,dv = \frac{2}{3}v^{3/2}$，所以 $I = \frac{ab}{2(a^2-b^2)}\cdot\frac{2}{3}\left[a^3 - b^3\right] = \frac{ab}{3(a^2-b^2)}(a^3-b^3)$。

利用立方差公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ 和平方差公式 $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$，得 $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$。因此 $I = \frac{ab}{3}\cdot\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$。最终结果为 $\boxed{\frac{ab(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}}$。当 $a=b$ 时，极限值为 $\frac{a^3}{3}$，与圆的情况一致。