广西大学 2024年数学分析第11题
📝 题目
11、证明：$\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x^{2}}$ 是有界函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在无穷远处的极限行为
考虑 $|x| \to +\infty$ 时，指数函数 $e^{-x^2}$ 衰减速度远快于多项式 $x^3$ 的增长速度，因此函数值趋于 $0$。计算极限：
$$\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x^2} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} x^3 e^{-x^2} = 0.$$
公式：$$\lim_{|x| \to \infty} x^3 e^{-x^2} = 0$$
提示：注意 $x \to -\infty$ 时 $x^3$ 为负，但绝对值仍趋于 $0$，因此极限为 $0$。
步骤 2/5
目标：利用极限定义得到函数在无穷远处的有界性
由极限定义，对 $\varepsilon = 1$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $|f(x)| < 1$。因此函数在区间 $(-\infty, -X) \cup (X, +\infty)$ 上有界（界为 $1$）。
公式：$$\forall |x| > X, \ |f(x)| < 1$$
提示：这里取 $\varepsilon = 1$ 是为了方便，实际任意正数均可。
步骤 3/5
目标：考虑有限闭区间上的连续性
函数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续（多项式与指数函数乘积），因此在闭区间 $[-X, X]$ 上连续。由闭区间上连续函数的有界性定理，$f(x)$ 在 $[-X, X]$ 上有界，即存在 $M > 0$ 使得 $|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [-X, X]$ 成立。
公式：闭区间上连续函数必有界
提示：注意 $X$ 是上一步中取定的正数，区间 $[-X, X]$ 是有限闭区间。
步骤 4/5
目标：综合得到整个实数轴上的有界性
综合前两步：当 $|x| > X$ 时 $|f(x)| < 1$，当 $|x| \leq X$ 时 $|f(x)| \leq M$。因此对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $|f(x)| \leq \max\{1, M\}$，即 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界。
公式：$$\forall x \in \mathbb{R}, \ |f(x)| \leq \max\{1, M\}$$
提示：这是证明有界函数的标准方法：将定义域分为无穷远部分和有限部分分别处理。
步骤 5/5
目标：（可选）通过求导数找到精确的上下界
求导得 $f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} + x^3 e^{-x^2}(-2x) = e^{-x^2}(3x^2 - 2x^4) = x^2 e^{-x^2}(3 - 2x^2)$。令 $f'(x)=0$ 得驻点 $x=0$ 和 $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$。计算函数值：$f(0)=0$，$f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} e^{-3/2}$，$f\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} e^{-3/2}$。由于 $x \to \pm \infty$ 时 $f(x) \to 0$，这些极值即为全局最大值和最小值。
公式：$$f_{\max} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} e^{-3/2}, \quad f_{\min} = -\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} e^{-3/2}$$
提示：注意 $x=0$ 处导数为 $0$ 但并非极值点（二阶导检验或观察符号变化可知是拐点）。
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