广西大学 2024年数学分析第12题
📝 题目
12、证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty),(\delta>0)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分性质与变量替换
考虑含参量积分 $I(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy$。对固定的 $x>0$，令 $t=xy$，则 $dy = dt/x$，积分化为 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$，故对每个 $x>0$ 积分收敛（条件收敛）。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $x=0$ 时积分发散，因此参数范围是 $(0,+\infty)$。
步骤 2/5
目标：证明在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛（无穷远处控制）
对任意 $\varepsilon>0$，由 $\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \, du$ 的收敛性，存在 $M>0$ 使得当 $R>M$ 时 $\left|\int_{R}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \, du\right|<\varepsilon$。取 $A = M/\delta$，则对任意 $x\ge\delta$ 和 $R'>R>A$，令 $u=xy$ 得：
$$\left|\int_{R}^{R'} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy\right| = \left|\int_{xR}^{xR'} \frac{\sin u}{u} \, du\right| \le \left|\int_{xR}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \, du\right| + \left|\int_{xR'}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \, du\right|$$
由于 $xR \ge \delta R > M$，故两项均小于 $\varepsilon$，从而积分在无穷远处关于 $x\ge\delta$ 一致收敛。
公式：$\left|\int_{R}^{R'} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy\right| = \left|\int_{xR}^{xR'} \frac{\sin u}{u} \, du\right|$
提示：关键在于 $x\ge\delta$ 保证 $xR$ 可以任意大，从而利用 $\int_{u}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ 的一致小性。
步骤 3/5
目标：证明在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛（原点附近控制）
考虑原点附近的积分。由于 $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}=1$，函数 $F(u)=\int_{0}^{u} \frac{\sin t}{t} \, dt$ 在 $u=0$ 连续且 $F(0)=0$。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$ 使得当 $|u|<\eta$ 时 $|F(u)|<\varepsilon$。取 $\delta_1 = \eta/\delta$，则对任意 $x\ge\delta$ 和 $00$，取 $\delta_1 = \varepsilon / \delta$，则对 $0
公式：$\left|\int_{0}^{\delta_1} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy\right| \le \int_{0}^{\delta_1} x \, dy = x\delta_1$
提示：原点附近需结合有界性和 Dirichlet 判别法，不能仅用线性估计。
步骤 4/5
目标：利用 Dirichlet 判别法完成原点附近一致收敛证明
将积分拆为 $\int_{0}^{1} + \int_{1}^{+\infty}$。对 $\int_{0}^{1}$，令 $f(y)=1/y$，$g(y)=\sin(xy)$。在 $[0,1]$ 上，$f(y)$ 单调递减且 $\lim_{y\to 0^+} f(y)=+\infty$，但 $\int_{0}^{1} \sin(xy) \, dy = \frac{1-\cos x}{x}$ 对 $x\ge\delta$ 一致有界（$\le 2/\delta$）。由 Dirichlet 判别法，$\int_{0}^{1} f(y)g(y) \, dy$ 关于 $x\ge\delta$ 一致收敛。对 $\int_{1}^{+\infty}$，类似地 $f(y)=1/y$ 单调递减趋于0，$\int_{1}^{A} \sin(xy) \, dy$ 一致有界（$\le 2/\delta$），故也一致收敛。因此整体在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\left|\int_{0}^{1} \sin(xy) \, dy\right| = \left|\frac{1-\cos x}{x}\right| \le \frac{2}{\delta}$
提示：Dirichlet 判别法要求 $f(y)$ 单调趋于0且 $\int g$ 一致有界，这里 $x\ge\delta>0$ 保证了有界性。
步骤 5/5
目标：证明在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛
用反证法。假设积分在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$ 使得对所有 $x>0$ 和 $R'>R>A$ 有 $\left|\int_{R}^{R'} \frac{\sin(xy)}{y} \, dy\right|<\varepsilon$。取 $\varepsilon=1/2$，则存在 $A$ 使上述成立。令 $x=1/A$，取 $R=A$，$R'=2A$，则 $xR=1$，$xR'=2$。计算：
$$\left|\int_{A}^{2A} \frac{\sin(y/A)}{y} \, dy\right| = \left|\int_{1}^{2} \frac{\sin u}{u} \, du\right|$$
而 $\int_{1}^{2} \frac{\sin u}{u} \, du > 0$ 为固定常数（约0.66），大于 $1/2$，矛盾。故不一致收敛。
公式：$\left|\int_{A}^{2A} \frac{\sin(y/A)}{y} \, dy\right| = \left|\int_{1}^{2} \frac{\sin u}{u} \, du\right| > \frac{1}{2}$
提示：关键在于选取 $x$ 与 $A$ 相关（$x=1/A$），使得变量替换后积分区间固定，从而无法一致小。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。